Darwin und die Götter der Scheibenwelt

›Aleph‹ nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets. Und er schrieb eine kleine Null dahinter – aus Gründen, die sich bald zeigen werden: Aleph-null.
    Ihm war klar, worauf er sich einließ. Er sei sich durchaus bewusst, dass er sich durch Anwendung solch einer Prozedur in Gegensatz zu weit verbreiteten Ansichten bezüglich der Unendlichkeit in der Mathematik und zu den geläufigen Meinungen über das Wesen der Zahl setze, schrieb er und bekam, was er erwartete: eine Menge Feindseligkeit, insbesondere von Leopold Kronecker. »Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk«, erklärte dieser.
    Heutzutage glauben die meisten von uns, dass der Mensch auch die ganzen Zahlen schuf.
    Wozu ein neues Symbol einführen (noch dazu ein hebräisches)? Wenn es nur eine Unendlichkeit im Sinne Cantors gegeben hätte, so hätte er sie auch ohne weiteres ›Unendlichkeit‹ nennen können wie alle anderen, und das traditionelle Symbol einer liegenden Acht verwenden können: ∞. Doch er erkannte rasch, dass es von seinem Blickpunkt aus ohne weiteres noch andere Unendlichkeiten geben könne, und sicherte sich das Recht, sie Aleph-eins, Aleph-zwei, Aleph-drei usw. zu nennen.
    Wie kann es andere Unendlichkeiten geben? Das war die große unerwartete Konsequenz jenes kindlichen Zuordnungsspiels. Um zu schildern, wie es dazu kam, brauchen wir eine Möglichkeit, über wirklich große Zahlen zu sprechen. Endliche und unendliche. Um Sie in dem Glauben einzulullen, alles sei warm und gemütlich, werden wir eine einfache Absprache einführen.
    Wenn ›hmpf‹ eine beliebige Zahl ist, wie groß auch immer, dann soll ›hmpfoplex‹ 10 hmpf bedeuten, was eine 1 ist, gefolgt von hmpf Nullen. Also ist 2plex gleich 100, 6plex ist 1 000 000, eine Million und 9plex eine Milliarde. Mit hmpf = 100 erhalten wir ein Googol, also ist Googol = 100plex. Ein Googolplex kann also als 100plexplex beschrieben werden.
    Auf Cantor eingestellt, beginnen wir zu überlegen, was es wohl mit Unendlichplex auf sich hätte. Aber wir wollen exakt sein: Was ist mit Aleph-nullplex? Was ist 10 Aleph-null ?
    Bemerkenswerterweise hat es eine durchaus sinnvolle Bedeutung. Es ist die Kardinalzahl der Menge aller reellen Zahlen – aller Zahlen, die als unendlich lange Dezimalzahl (also mit beliebig vielen Stellen vor und hinter dem Komma) dargestellt werden können. Erinnern Sie sich an den ephebischen Philosophen Pthagonal, der gesagt haben soll: »Der Umfang geteilt durch den Durchmesser. Eigentlich sollte sich der Wert drei ergeben. Damit rechnet man doch, nicht wahr? Aber ist das der Fall? Nein. Das Ergebnis lautet drei Komma eins vier eins und so weiter. Die verdammten Zahlen wollen einfach kein Ende nehmen.« Das bezieht sich natürlich auf die berühmteste reelle Zahl, eine, die genau darzustellen man wirklich unendlich viele Dezimalstellen braucht: π (›pi‹). Auf eine Dezimalstelle genau beträgt sie 3,1. Auf zwei Stellen 3,14. Auf drei Stellen genau ist sie 3,141. Und so weiter ad infinitum.
    Es gibt noch eine Menge andere reelle Zahlen. Wie groß ist der Phasenraum aller reellen Zahlen?
    Denken Sie an den Teil hinter dem Komma. Wenn wir bis zur ersten Stelle gehen, gibt es zehn Möglichkeiten: jede von den Ziffern 0, 1, 2 … 9. Für zwei Dezimalstellen gibt es hundert Möglichkeiten: 00 bis 99. Wenn wir auf drei Dezimalstellen genau rechnen, gibt es 1000 Möglichkeiten: 000 bis 999.
    Das Muster ist klar. Wenn wir hmpf Dezimalstellen berücksichtigen, gibt es 10 hmpf Möglichkeiten. Also hmpfoplex.
    Wenn die Dezimalstellen ›ewig weitergehen‹, müssen wir zuerst fragen: »Welche Art von ›ewig‹?« Und die Antwort lautet »Cantors Aleph-null«, weil es eine erste Dezimalstelle gibt, eine zweite, eine dritte … Die Stellen sind den ganzen Zahlen zugeordnet. Wenn wir also ›hmpf‹ gleich ›Aleph-null‹ setzen, stellen wir fest, dass die Kardinalzahl der Menge aller reellen Zahlen (wobei wir alles vor dem Dezimalkomma ignorieren) gleich Aleph-nullplex ist. Dasselbe gilt aus ein wenig komplizierteren Gründen, wenn wir den Teil vor dem Komma einschließen .* [* Kurz gefasst: Da der Teil vor dem Komma eine ganze Zahl ist, wird mit seiner Berücksichtigung das Ergebnis mit Aleph-null multipliziert. Nun ist Aleph-null × Aleph-nullplex kleiner oder gleich Aleph-nullplex × Aleph-nullplex, das aber ist gleich (2 × Aleph-null)plex und das wiederum gleich Aleph-nullplex. OK?] Alles gut und schön, aber vermutlich wird