Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

sagenhaft großen Zahl, gegen die sogar 3
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3 verblasst, finden wir aufgrund einer Erkenntnis, die dem britischen Mathematiker Reuben Louis Goodstein im Jahre 1944 gelang. Um sie nachvollziehen zu können, müssen wir allerdings ein wenig ausholen:
    Zuerst erklären wir, was die Darstellung „zu einer Basis“ bedeutet. Eine „Basis“ ist dabei eine von 1 verschiedene Zahl. Betrachten wir zum Beispiel die kleinstmögliche Basis 2 und die Zahl 42. Wir dividieren die vorgelegte Zahl durch die Basis, in unserem Beispiel 42 : 2, erhalten 21 als Quotienten und 0 als Rest und schreiben folglich
    42 = 21  ×  2 + 0.
    Jetzt dividieren wir den Quotienten durch die Basis, in unserem Beispiel 21 : 2, und bekommen 10 als Quotienten und 1 als Rest, also
    21 = 10  ×  2 + 1.
    Das Spiel setzen wir mit dem nächsten Quotienten so lange fort, bis es beim Quotienten Null endet. Der Reihe nach bekommt man so aus den Divisionen die Resultate
    42 = 21  ×  2 + 0
    21 = 10  ×  2 + 1
    10 = 5  ×  2 + 0
    5 = 2  ×  2 + 1
    2 = 1  ×  2 + 0
    1 = 0  ×  2 + 1 .
    Jetzt setzt man diese Resultate ineinander ein:
    42 = 21  ×  2 + 0
    = (10  ×  2 + 1)  ×  2 + 0 = 10  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0
    = (5  ×  2 + 0)  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0 = 5  ×  2 3 + 0  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0
    = (2  ×  2 + 1)  ×  2 3 + 0  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0 = 2  ×  2 4 + 1  ×  2 3 + 0  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0
    = (1  ×  2 + 0)  ×  2 4 + 1  ×  2 3 + 0  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0 =
1  ×  2 5 + 0  ×  2 4 + 1  ×  2 3 + 0  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0.
    Mit dem Ergebnis
    42 = 1  ×  2 5 + 0  ×  2 4 + 1  ×  2 3 + 0  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0
    ist die Zahl 42 zur Basis 2 dargestellt. Wir nennen die vor den Potenzen von 2 auftretenden Faktoren 1, 0, 1, 0, 1 und auch die zum Schluss aufgeschriebene 0 (es ist der Faktor der Potenz 2 0 , die mit 1 übereinstimmt, weil man jede Zahl zur nullten Potenz gleich 1 setzt) die „Ziffern“ der Zahl 42 zur Basis 2. Die oben angeschriebene Darstellung von 42 zur Basis 2 wird gerne mit der Bezeichnung (1 0 1 0 1 0) 2 abgekürzt, ausführlich:
    42 = 1  ×  2 5 + 0  ×  2 4 + 1  ×  2 3 + 0  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0 = (1 0 1 0 1 0) 2 .
    Man kann 42 natürlich auch zur Basis 5 darstellen. In diesem Fall lauten die Divisionen
    42 = 8  ×  5 + 2
    8 = 1  ×  5 + 3
    1 = 0  ×  5 + 1 .
    Jetzt setzt man die einzelnen dieser Resultate ineinander ein:
    42 = 8  ×  5 + 2
    = (1  ×  5 + 3)  ×  5 + 2 = 1  ×  5 2 + 3  ×  5 + 2,
    mit dem Ergebnis
    42 = 1  ×  5 2 + 3  ×  5 + 2 = (1 3 2) 5 .
    Noch einfacher ist es, 42 zur Basis 7 darzustellen. Da gibt es nur zwei Divisionen
    42 = 6  ×  7 + 0
    6 = 0  ×  7 + 6 ,
    woraus sich unmittelbar die Darstellung
    42 = 6  ×  7 + 0 = (6 0) 7
    ergibt. Genauso leicht ist die Darstellung von 42 zur Basis 10. Auch hier gibt es nur zwei Divisionen
    42 = 4  ×  10 + 2
    4 = 0  ×  10 + 4,
    woraus die Darstellung
    42 = 4  ×  10 + 2 = (4 2) 10
    folgt. Die Darstellung einer Zahl zur Basis 10 ist uns seit Adam Ries wohlbekannt: Es ist die übliche Schreibweise von Zahlen im Dezimalsystem.
    Im Folgenden sind aber die verschiedenen Basen wichtig. Denn nur so verstehen wir, was Goodstein das „Aufblähen“ einer Zahl nennt: Beim „Aufblähen der Zahl 42 von der Basis 5 zur Basis 6“ ersetzt man in der Darstellung
    42 = 1  ×  5 2 + 3  ×  5 + 2
    alle vorkommenden Zahlen 5 durch 5  +  1 = 6 und berechnet die dabei entstehende Zahl:
    1  ×  6 2 + 3  ×  6 + 2 = 36 + 18 + 2 = 56.
    Beim Aufblähen von der Basis 5 zur Basis 6 ist also aus 42 die größere Zahl 56 entstanden. Ebenso können wir 42 von der Basis 7 zur Basis 8 aufblähen: Ausgehend von 42 = 6  ×  7  +  0 bildet man, weil 7 durch 7  +  1 = 8 ersetzt wird, 6  ×  8  +  0 = 48. Hier ist aus 42 die Zahl 48 entstanden. Und beim Aufblähen der Zahl 42 von der Basis 10 zur Basis 11 ersetzt man 10 durch 10  +  1 = 11 und bildet 4  ×  11  +  2. Es ergibt sich die aufgeblähte Zahl 46. Bevor wir die Zahl 42 von der Basis 2 zur Basis 3 aufblähen, müssen wir aber noch eine weitere Forderung berücksichtigen, die Goodstein beim Aufblähen erhob: 42 lautet zur Basis 2 bekanntlich
    42 = 1  ×  2 5 + 0  ×  2 4 + 1  ×  2 3 + 0  ×  2 2 + 1  ×  2 + 0.
    Hier kommen Hochzahlen vor, die man ebenfalls zur Basis 2 darstellen kann, nämlich
    5 = 1  ×  2 2 + 0  ×  2 + 1, 4 = 1  ×  2 2 + 0  ×  2 +