Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Arithmoquinieren. Wir brauchen eine Formel mit mindestens einer freien Variablen. Die folgende Formel genügt:
    a = S0
    Die Gödelzahl dieser Formel ist 262,111,123,666, und wir fügen diese Zahl in die Formel selbst ein, oder vielmehr: wir fügen ihr Zahlzeichen ein. Das Ergebnis sieht so aus:
SSSSS ..... SSSSS0 = S0

262 111 123 666 S .
    Diese neue Formel behauptet eine alberne Unwahrheit — nämlich daß 262 111 123 666 gleich 1 ist. Hätten wir mit der Kette ~ a = S0 begonnen und dann arithmoquiniert, hätten wir eine wahre Aussage erhalten — wie der Leser selber sehen wird.
    Wenn man arithmoquiniert, führt man natürlich einen Spezialfall der früher definierten Substitutions-Operation aus. Wollten wir über Arithmoquinierung innerhalb von TNT sprechen, würden wir die Formel
    SUB { a '', a '', a '}
    verwenden, wobei die ersten zwei Variablen die gleichen sind. Das kommt daher, daß wir eine einzige Zahl auf zwei verschiedene Arten verwenden (man erinnert sich an Cantors Diagonalmethode). Die Zahl a '' ist sowohl 1) die ursprüngliche Gödel-Nummer, wie auch 2) die eingefügte Zahl. Für die obige Formel erfinden wir eine Abkürzung:
    ARITHMOQUINE { a '', a '}
    Was die obige Formel auf deutsch aussagt ist folgendes:
    a ' ist die Gödel-Nummer, die man erhält, wenn man die Formel mit der
Gödel-Nummer a '' arithmoquiniert.
    Dieser Satz ist jedoch lang und unschön. Führen wir also einen zusammenfassenden, konzisen und eleganten Ausdruck ein. Wir werden sagen:
    a ' ist die Arithmoquinierung von a ''
    — was dasselbe bedeutet. Zum Beispiel ist die Arithmoquinierung von 262 111 123 666 die unvorstellbar gigantische Zahl:
123,123,123.....123,123,123,666,111,123,666

262 111 123 666 Wiederholungen von „123“
    (Dies ist einfach die Gödel-Nummer der Formel, die wir erhielten, als wir a = S0 arithmoquinierten.) Innerhalb von TNT können wir ohne weiteres über die Arithmoquinierung sprechen.
Der letzte Strohhalm
    Wenn man jetzt auf Die „Air“ in G zurückblickt, wird man feststellen, daß der entscheidende Trick zur Erreichung von Selbstbezüglichkeit auf Quines Weise darin besteht, einen Satz zu quinieren, der selbst vom Begriff des Quinierens spricht. Einfach zu quinieren genügt nicht: Man muß einen Satz quinieren, in dem die Quinierung erwähnt wird! Also gut: der entsprechende Trick in unserem Fall muß der sein, daß wir eine Formel arithmoquinieren, die selber über den Begriff des Arithmoquinierens spricht!
    Ohne weitere Umstände schreiben wir nunmehr diese Formel nieder und nennen sie „G's Onkel“:
    ~ ∃a : ∃a ':< TNT-BEWEISPAAR { a , a '}∧ ARITHMOQUINE { a '', a '}>
    Man sieht deutlich, eine wie wichtige Rolle die Arithmoquinierung in dieser Angelegenheit spielt. Nun hat dieser „Onkel“ natürlich eine Gödel-Nummer, die wir „u“ nennen wollen. Anfang und Ende der Dezimalentwicklung von u und sogar einen winzig kleinen Teil der Mitte kann man direkt ablesen:
    u = 223,333,262,636,333,262,163,636,212,...,161,...,213
    Was den Rest betrifft, so müßten wir wissen, wie die Formeln TNT-BEWEISPAAR und ARITHMOQUINE tatsächlich aussehen, wenn man sie niederschreibt. Das ist zu kompliziert und auf jeden Fall ohne Belang.
    Was wir nun aber tun müssen, ist, gerade diesen Onkel zu quinieren! Das bringt mit sich, daß alle freien Variablen „hinausgeworfen“ werden — von denen es nur eine gibt, nämlich a '' — und überall das Zahlzeichen für u einzusetzen. Das ergibt:
~ ∃a : ∃a ':< TNT-BEWEISPAAR { a , a '} ARITHMOQUINE { SSS ... SSS0 / a '', a '}>
~ ∃a : ∃a ':< TNT-BEWEISPAAR { a , a '} ARITHMOQUINE {
~ ∃a : ∃a ':< TNT-BEWEISPAAR { a , a '} ARITHMOQUINE { SSS u S
    Und das, ob man es glaubt oder nicht, ist Gödels Kette, die wir mit „G“ bezeichnen können. Nun erheben sich zwei Fragen, die wir sofort beantworten müssen. Sie lauten:
1)
Was ist die Gödel-Nummer von G?
2)
Was ist die Interpretation von G?
    Zuerst Frage 1). Wie erzeugten wir G? Nun, wir begannen mit dem Onkel und arithmoquinierten ihn. Damit ist gemäß der Definition der Arithmoquinierung die Gödel-Nummer von G:
    die Arithmoquinierung von u.
    Sodann Frage 2). Wir werden G stufenweise ins Deutsche übersetzen und so die Dinge allmählich immer verständlicher machen. Als ersten Versuch verfertigen wir eine ziemlich rohe wörtliche Übersetzung:
    „Es gibt keine Zahlen a und a ', so daß 1) beide ein TNT-Beweispaar bilden und 2) a ' die Arithmoquinierung von u ist.“
    Nun gibt es gewiß eine Zahl a ',