Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

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~ ∃a ':< TNT-BEWEISPAAR { S0 / a , a '} ∧ ARITHMOQUINE { SSS ... SSS0 / a '', a '}
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    Was besagt jede dieser Formeln? Die Übersetzung lautet:
    „0 und die Arithmoquinierung von u bilden kein TNT-Beweispaar.“
    „1 und die Arithmoquinierung von u bilden kein TNT-Beweispaar.“
    „2 und die Arithmoquinierung von u bilden kein TNT-Beweispaar.“
    „3 und die Arithmoquinierung von u bilden kein TNT-Beweispaar.“
    .
    .
    .
    Nun handelt jede dieser Behauptungen davon, ob zwei bestimmte ganze Zahlen ein Beweispaar bilden oder nicht. (Dagegen handelt G selbst davon, ob eine gewisse ganze Zahl eine S ATZ -Zahl ist oder nicht.) Weil nun G ein Nicht-S ATZ ist, bildet keine ganze Zahl ein Beweispaar mit der Gödel-Nummer von G. Deshalb ist jede Aussage der Familie wahr. Die Crux ist nun, daß die Eigenschaft, ein Beweispaar zu sein, primitiv-rekursiv ist, und somit repräsentierbar, so daß jede der Aussagen in der obigen Liste, da sie wahr ist, in einen S ATZ von TNT übersetzt werden kann, was bedeutet, daß alles in unserer unendlichen pyramidenförmigen Familie ein S ATZ ist, und das zeigt, warum TNT ω-unvollständig ist.
Zwei verschiedene Arten, das Loch zu stopfen
    Da die Interpretation von G wahr ist, ist die Interpretation seiner Negation, ~G, falsch. Und wenn wir von der Annahme Gebrauch machen, daß TNT widerspruchsfrei sei, wissen wir, daß sich keine unwahre Aussage in TNT ableiten läßt. So ist weder G noch seine Verneinung ~G ein S ATZ von TNT. Wir haben in unserem System ein Loch gefunden — eine unentscheidbare Behauptung. Doch braucht uns das nicht in Alarmstimmung zu versetzen, sofern wir genügend philosophische Distanz aufbringen, um zu merken, wovon das ein Symptom ist. Es besagt, daß TNT erweitert werden kann, genau so, wie das bei der absoluten Geometrie der Fall war. In der Tat kann TNT in zwei verschiedene Richtungen erweitert werden, gerade wie das bei der absoluten Geometrie der Fall war. TNT kann in einer Standardrichtung erweitert werden, was der Erweiterung der absoluten Geometrie in Richtung auf die euklidische entspricht, oder sie kann in eine Nicht-Standardrichtung erweitert werden, was natürlich der Erweiterung der absoluten Geometrie in die nichteuklidische Richtung entspricht. Nun wird eine Erweiterung des Standard-Typus
    die Hinzufügung von G als einem neuen Axiom
    erfordern. Dieser Vorschlag erscheint also harmlos und vielleicht sogar wünschenswert, da G ja schließlich etwas Wahres über das System der natürlichen Zahlen behauptet. Wie steht es also mit dem Nicht-Standard-Typus der Erweiterung? Wenn er überhaupt dem Parallelenaxiom analog ist, muß er
    die Hinzufügung der Verneinung von G als einem neuen Axiom
    mit sich bringen. Wie aber können wir ein so abstoßendes und gräßliches Ding überhaupt in Erwägung ziehen? Um die Worte Girolamo Saccheris umzuformulieren: läuft nicht das, was ~G aussagt, „der Natur der natürlichen Zahlen zuwider“?
Übernatürliche Zahlen
    Ich hoffe, daß die Ironie dieses Zitats Sie betroffen macht. Das eigentliche Problem bei Saccheris Ansatz war, daß er von einer feststehenden Vorstellung ausging, was wahr und was unwahr sei, und er machte sich daran, nur das zu beweisen, was er von Anfang als wahr angenommen hatte. Trotz der Klugheit dieses Ansatzes (der die Verneinung des fünften Postulats ins Spiel brachte und dann viele „widersinnige“ Sätze der so entstandenen Geometrie beweist), verfiel Saccheri nie auf die Möglichkeit, über Punkte und Geraden in anderer Weise zu denken. Nun sollten wir uns hüten, diesen berühmten Fehler zu wiederholen. Wir müssen, soweit uns das möglich ist, unvoreingenommen erwägen, was es bedeuten würde, ~G als Axiom TNT beizufügen. Man überlege sich, wie die Mathematik heute aussähe, wenn man nie in Betracht gezogen hätte, neue Axiome der folgenden Art anzugliedern:
    ∃a :( a + a )= S0
    ∃a : Sa = 0
    ∃a :( a · a )= SS0
∃a : S ( a · a )= 0
    Während jedes Axiom „der