Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

Übersicht
    Teil I: GEB
    Einleitung: Ein musiko-logisches Opfer . Das Buch beginnt mit der Geschichte von Bachs Musikalischem Opfer. Bach besuchte überraschend Friedrich den Großen und wurde gebeten, über ein vom König vorgelegtes Thema zu improvisieren. Seine Improvisationen bildeten die Grundlage dieses großen Werks. Das Musikalische Opfer und seine Geschichte bilden ein Thema, über das ich im ganzen Buch improvisiere und damit eine Art „Metamusikalisches Opfer“ schaffe. Ich bespreche Selbstbezüglichkeit und das Zusammenspiel verschiedener Ebenen bei Bach; das führt zu einer Erörterung paralleler Ideen in Eschers Zeichnungen und dann zu Gödels Satz. Als Hintergrund dafür gebe ich eine kurze Darstellung der Geschichte der Logik und der Paradoxien. Das bringt uns zum mechanischen folgerichtigen Denken, zum Computer und zur Debatte darüber, ob „Artifizielle Intelligenz“ (AI) möglich ist. Am Schluß erkläre ich, wie das Buch entstand — insbesondere meine Überlegungen zu den Dialogen.
    Dreistimmige Invention. Bach schrieb fünfzehn dreistimmige Inventionen. In diesem dreistimmigen Dialog „erfindet“ Zeno die Schildkröte und Achilles — die wichtigsten fiktiven Protagonisten der Dialoge — wie er das ja auch tatsächlich getan hat, um seine Paradoxien der Bewegung zu illustrieren. Ganz kurz, einfach als ein Vorgeschmack der nachfolgenden Dialoge gedacht.
    Kapitel I: Das MU-Rätsel . Ein einfaches formales System (das MIU-System) wird vorgestellt; dem Leser wird dringend empfohlen, ein Rätsel zu lösen, um sich so mit formalen Systemen im allgemeinen vertraut zu machen. Verschiedene grundlegende Begriffe werden eingeführt: Zeichenkette, S ATZ , Axiom, Folgerungsregel, Ableitung, formales System, Entscheidungsverfahren, Arbeiten innerhalb und außerhalb des Systems.
    Zweistimmige Invention. Bach schrieb auch fünfzehn zweistimmige Inventionen. Diesen zweistimmigen Dialog habe nicht ich verfaßt, sondern Lewis Carroll im Jahre 1895. Carroll borgte sich Achilles und die Schildkröte von Zeno aus, und ich meinerseits borgte sie von Carroll. Zur Debatte stehen die Beziehungen zwischen folgerichtigem Denken, folgerichtigem Denken über folgerichtiges Denken, folgerichtigem Denken über folgerichtiges Denken über folgerichtiges Denken usw. In einem gewissen Sinn ist dies zu Zenos Paradoxien über die Unmöglichkeit der Bewegung parallel und zeigt anscheinend unter der Verwendung einer unendlichen Regression, daß folgerichtiges Denken unmöglich ist. Eine schöne Paradoxie. Wir werden in diesem Buch öfters darauf zurückkommen.
    Kapitel II: Bedeutung und Form in der Mathematik . Ein neues formales System (das pg-System), sogar noch einfacher als das MIU-System aus Kapitel I, wird präsentiert. Zunächst anscheinend ohne Bedeutung, zeigt sich plötzlich, daß seine Symbole dank der Form der S ÄTZE , in denen sie auftreten, doch eine Bedeutung besitzen. Diese Enthüllung ist die erste wichtige Einsicht in das Wesen der Bedeutung — nämlich eine tiefliegende Verbindung mit Isomorphie. Dann werden verschiedene, die Bedeutung betreffende Probleme besprochen, wie Wahrheit, Beweis, Symbolmanipulation und der schwer zu fassende Begriff „Form“.
    Sonate für Achilles solo. Ein Dialog, der Bachs Sonaten für Violine solo imitiert. Achilles ist in diesem Fall der einzige Sprecher, weil es sich um eine Niederschrift nur einer Seite eines Telefongesprächs handelt; am anderen Ende der Leitung sitzt Herr Schildkröte. Ihre Unterhaltung dreht sich um die Begriffe „Figur“ und „Hintergrund“ in verschiedenen Zusammenhängen — z. B. Eschers Kunst. Der Dialog selbst ist ein Beispiel für diese Unterscheidung, da Achilles' Stimme eine „Figur“ bildet und die von Herrn Schildkröte — implizit in der des Achilles — einen „Hintergrund“.
    Kapitel III: Figur und Hintergrund . Der Unterschied zwischen Figur und Hintergrund wird mit dem zwischen S ÄTZEN und Nicht-S ÄTZEN in formalen Systemen verglichen. Die Frage: „Enthält eine Figur stets die gleiche Information wie der Hintergrund?“ führt zu der Unterscheidung zwischen rekursiv-aufzählbaren und rekursiven Mengen.
    Contrakrostipunktus. Dieser Dialog ist grundlegend für das Buch, weil er eine Anzahl von Paraphrasen von Gödels selbstbezüglicher Konstruktion und seines Unvollständigkeitssatzes enthält. Eine der Paraphrasen besagt: „Für jeden Plattenspieler gibt es eine Schallplatte, die dieser nicht spielen kann.“ Die