Die Berechnung der Zukunft: Warum die meisten Prognosen falsch sind und manche trotzdem zutreffen - Der New York Times Bestseller (German Edition)

erkrankt, ist glücklicherweise recht gering, sie beträgt nur etwa 1,4 Prozent. 34 Aber wie sieht es mit der Wahrscheinlichkeit aus, wenn der Befund bei der Mammografie positiv ausfällt?
    Studien haben ergeben, dass das Ergebnis in 10 Prozent der Fälle, in denen Frauen keinen Krebs haben, positiv ausfällt. 35 Im Fall von Krebs ist aber auch nur in 75 Prozent der Fälle mit einem positiven Befund zu rechnen. 36 In Anbetracht dieser Zahlen scheint ein positiver Befund wirklich fatal zu sein. Wenn man jedoch das Bayes-Theorem auf diese Zahlen anwendet, dann kommt man zu einem ganz anderen Schluss. Die Brustkrebs-Wahrscheinlichkeit für eine Frau über vierzig beträgt selbst bei positivem Mammografiebefund nur etwa 10 Prozent. Diese falschen positiven Befunde dominieren die Gleichung, da von vornherein nur sehr wenige junge Frauen an Brustkrebs erkranken. Aus diesem Grund empfehlen viele Ärzte regelmäßige Mammografien erst bei Frauen über fünfzig, da bei ihnen die Anfangswahrscheinlichkeit höher ist. 37
    Probleme wie dieses stellen zweifellos eine Herausforderung dar. Im Rahmen einer neueren Studie wurde Amerikanern dieses Beispiel vorgelegt, um zu untersuchen, wie gut sie Statistiken lesen können. Nur etwa 3 Prozent von ihnen schätzten die Wahrscheinlichkeit richtig ein. 38 Gelegentlich kann Innehalten und sich das Problem bildlich vor Augen zu führen (Abb. 8-4) vor ungenauen Annäherungswerten schützen. Bildlich erhält man einen besseren Überblick; weil Brustkrebs bei jungen Frauen so selten ist, hat ein positiver Befund bei der Mammografie also nicht allzu viel zu bedeuten.
    A-priori-Wahrscheinlichkeit
Schätzung der Wahrscheinlichkeit, dass er Sie betrogen hat.
x
4%
Etwas Neues tritt ein: Ein geheimnisvolles Wäschestück wird gefunden.
Wahrscheinlichkeit, dass Sie den Slip finden, weil er Sie betrügt.
y
50%
Wahrscheinlichkeit, dass Sie den Slip finden, obwohl er Sie nicht betrügt.
z
5%
A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
Revidierte Schätzung der Wahrscheinlichkeit, dass er Sie betrogen hat, unter der Voraussetzung, dass Sie das Wäschestück gefunden haben.
xy
    xy + z(1-x)
29%
    Abbildung 8-3: Das Bayes-Theorem – Unterwäschebeispiel
    Normalerweise beschränken wir uns auf neue und leicht verfügbare Informationen und verlieren darüber den Gesamtüberblick. Kluge Glücksspieler wie Bob Voulgaris haben gelernt, sich diesen Denkfehler zunutze zu machen. Seine Wette auf die Lakers war deswegen so gewinnbringend, weil sich die Buchmacher zu sehr auf die ersten Spiele konzentriert hatten, und die Verlustchancen der Lakers von 4 zu 1 auf 6,5 zu 1 streckten, obwohl ihre Leistungen nur dem entsprachen, was von einem guten Team mit einem verletzten Topspieler zu erwarten war. Das Bayes-Theorem verlangt von uns, solche Probleme sorgfältiger zu durchdenken, und es kann sehr nützlich sein, wenn unsere erste gefühlsmäßige Einschätzung viel zu ungenau ist.

    Abbildung 8-4: Das Bayes-Theorem – Beispiel Mammografie
    Das soll nicht heißen, dass A-priori-Wahrscheinlichkeiten immer die neuen Erkenntnisse dominieren oder dass das Bayes-Theorem inhärent zu der Intuition widersprechenden Ergebnissen führt. Gelegentlich sind die neuen Erkenntnisse so überzeugend, dass sie alles andere unwesentlich erscheinen lassen, und plötzlich gelangen wir in einem Augenblick von einer Fast-Null-Wahrscheinlichkeit zu einer Fast-Gewissheit.
    Ein anderes, ein düsteres Beispiel: die Terroranschläge vom 11. September 2001. Die meisten von uns hätten es am Morgen dieses Tages für ausgesprochen unwahrscheinlich gehalten, dass Terroristen mit Flugzeugen in Hochhäuser in Manhattan fliegen. Als der erste Jet in das World Trade Center einschlug, sahen wir ein, dass ein Terroranschlag durchaus eine Möglichkeit darstellte. Als die zweite Maschine in den zweiten Turm einschlug, herrschte nicht mehr der geringste Zweifel daran. Mit dem Bayes-Theorem lässt sich dieses Ergebnis nachvollziehen.
    A-priori-Wahrscheinlichkeit
Erste Schätzung der Wahrscheinlichkeit, dass Terroristen mit Flugzeugen in Wolkenkratzer in Manhattan fliegen.
x
0,005%
Etwas Neues tritt ein: Ein Flugzeug kollidiert mit dem World Trade Center.
Wahrscheinlichkeit, dass Terroristen Wolkenkratzer in Manhattan angreifen.
y
100%
Wahrscheinlichkeit, dass ein Flugzeug auf ein Hochhaus prallt, ohne dass es sich um ein terroristisches Attentat handelt (also durch einen Unfall).
z
0,008%
A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
Revidierte Schätzung der Wahrscheinlichkeit eines