Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

verlangt, dass in seinem idealen Staat genau 5040 Bürger leben sollen, braucht er diese nicht einzeln abzuzählen. Es genügt, wenn sie in der Formation eines Rechtecks antreten: 60 Bürger jeweils in einer Reihe. Dann muss es 84 derartige Reihen geben, denn 84  ×  60 stimmt mit 5040 überein.
    Ungeschickter wäre es gewesen, Platon hätte die Bürger in einer Zweierreihe antreten lassen. Dann hätte er bis 2520 zählen müssen. Je näher also das Rechteck einem Quadrat gleichkommt, umso effektiver ersetzt das elegante Multiplizieren das stümperhafte Zählen.
    Können die Punkte, die eine Zahl symbolisieren, zu einem quadratischen Muster geordnet werden, nennt man die Zahl eine Quadratzahl. Es ist klar, dass die ersten Quadratzahlen
    1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4,3 × 3 = 9, 4 × 4 = 16,
5 × 5 = 25, …
    lauten. Die Folge 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, … der Quadratzahlen wächst rasch. Und es ist bemerkenswert, dass die Folge der Differenzen jeder Quadratzahl zu ihrer vorhergehenden, also
    4 − 1 = 3, 9 − 4 =5, 16 −
9 = 7, 25 − 16 =9,
36 − 25 =11, …
    mit 3beginnend die ungeraden Zahlen liefert.
    Multipliziert man nicht zwei, sondern drei Zahlen miteinander, zum Beispiel 3  ×  4  ×  5, bildet man gleichsam Bündel von Bündeln. Sieht man 4  ×  5 als Rechteckzahl, bei der vier aus jeweils fünf Punkten bestehende Zeilen untereinandergeschrieben sind, werden bei 3  ×  4  ×  5 drei dieser Rechtecke aufeinandergestapelt. Es entsteht ein Quader, der aus insgesamt 60 Punkten besteht. Die Tatsache, dass man die relativ große Zahl 60 so einfach mit drei Ziffern fassen kann, beeindruckte die frühen Rechenmeister in grauer Vorzeit sicher sehr. Die größte auf diese Weise aus drei einstelligen Ziffern gebildete Zahl ist 9  ×  9  ×  9 = 729, im Vergleich zur Ziffer 9 ein wahres Zahlenmonster.
    Allgemein spricht man von einer Kubikzahl, wenn sie sich als dreifaches Produkt einer Zahl mit sich selber schreiben lässt. Ihr geometrisches Bild ist ein Würfel, lateinisch cubus , daher ihr Name. Die ersten Kubikzahlen lauten
    1 × 1 × 1 = 1, 2 × 2 × 2 =8, 3 × 3 × 3 = 27,
4 × 4 × 4 = 64, 5 × 
5 × 5 = 125, … .
    Wie man sieht, wächst die Folge 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, … der Kubikzahlen erheblich rasanter als die Folge der Quadratzahlen. Die 200. Kubikzahl lautet 200  ×  200  ×  200, beträgt also 8 000 000, acht Millionen. Sie ist größer als die Zahl 7 777 777, die Roman Opalka vorschwebte, nach jahrzehntelangem Malen noch erreichen zu können.
    Auf den ersten Blick wirkt 200  ×  200  ×  200 niedlich: Zweihundert Punkte in einer Zeile angeschrieben, das kann man sich ganz gut vorstellen. Zweihundert derartige Zeilen der Reihe nach untereinander gesetzt, auch dieses Punktequadrat überfordert unsere Vorstellungskraft kaum. Und zweihundert derartige Quadrate übereinandergeschichtet, was sollte daran gigantisch sein? Aber trotzdem: Roman Opalka nahm sich, bildhaft gesprochen, vor, jeden einzelnen Punkt dieses Kubus zu berühren, seine Nummer auf die Leinwand zu bannen. Und selbst nach 46 Jahren dieser ermüdend monotonen Tätigkeit ist es ihm nicht gelungen, bis zum letzten Punkt dieses Kubus vorzudringen. Opalka erlosch mitten in ihm.
    Wie sehr uns die Kubikzahlen narren können, begreifen wir, wenn wir hören, dass die Sonne ziemlich genau hundertzehnmal größer sei als die Erde. Dieses „hundertzehnmal“ stimmt schon, wenn man sich auf den Radius der Sonnenkugel und den Radius der Erdkugel bezieht: jener beträgt knapp 700 000 Kilometer, dieser knapp 6400 Kilometer. Und tatsächlich ist 110  ×  6400 = 704 000. Aber was das Volumen betrifft, ist die Sonne
    110 × 110 × 
110 = 1 331 000,
    also mehr als 1,3 Millionen mal größer als die Erde. Und in Wahrheit kommt es beim Vergleich darauf an, und nicht auf den Radius.

    Abb. 5: In der Graphik hat das rechts gezeichnete Haus zwar die doppelte Höhe des linken Hauses, es besitzt aber dessen achtfaches Volumen.
    Niemand behaupte, dass ihn diese „Verwirrung im Kubik“ im täglichen Leben nie beträfe. Ein simples Beispiel belehrt eines anderen: Eine Nachrichtenagentur meldet, dass sich in den letzten zehn Jahren die Zahl der errichteten Eigentumshäuser verdoppelt habe. Flugs entscheidet die Redaktion einer Zeitschrift, diese Botschaft mit einer anschaulichen Grafik zu verdeutlichen. Auf einer waagrechten Achse werden der