Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Näherung benutzen.

Die Born'sche Näherung: Die Rettung der Wellengleichung
    Sie stehen also vor dem Problem, die folgende Gleichung für ψ(r) lösen zu müssen:

    Dabei ist.
    Sie können das mit einer Reihe von sukzessiven Näherungen machen, die Born'sche Näherung genannt werden (ein großartiges Ergebnis). Die Born'sche Näherung nullter Ordnung ist einfach ψ 0 (r) = φ ein (r). Setzt man ψ 0 (r), den Term nullter Ordnung, in die obere Gleichung ein, so erhält man den Term erster Ordnung:

    Wenn man ψ 0 (r) = φ ein (r) in die Gleichung einsetzt, erhält man:

    Man erhält den Term zweiter Ordnung, indem man diese Gleichung in

    Setzt manin diese Gleichung ein, so erhält man folgendes Ergebnis:

    Dieses Muster setzt sich für Terme höherer Ordnung fort, die man bestimmen kann, indem man Terme niedrigerer Ordnung in die höherer einsetzt.

Die Wellenfunktion bei großen Abständen
    Nachdem Sie die Born'sche Näherung kennen (siehe den vorangegangenen Abschnitt), wird im Folgenden dargestellt, was passiert, wenn r groß ist. In Streuexperimenten gilt gewöhnlich r r ′ wobei r der Abstand zwischen Target und Detektor ist und r′ die Größe des Detektors. Was wird ausder exakten Integralgleichung für die Wellenfunktion, wenn r r ′?
    Da r r ′ gilt k|r –r′|kr – k · r ′, wobei k · r ′ das Skalarprodukt von k und r ′ ist ( k ist der Wellenvektor des gestreuten Teilchens). Darüber hinaus ist

    Setzt man diese beiden Gleichungen inein, so erhält man:

    Dabei gilt:

    Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

    In diesem Fall erhält man somit folgenden Ausdruck:

Anwendung der ersten Born'schen Näherung
    Ist das Potential schwach, so ist die einfallende ebene Welle nur ein wenig verzerrt, und die gestreute Welle ist wieder eine ebene Welle. Das ist die Voraussetzung für die erste Born'sche Näherung, die hier betrachtet werden soll. Wenn Sie also annehmen, dass das Potential schwach ist, dann können Sie anhand der Gleichung

    folgende Aussage machen:

    Was ist dann f(φ, θ)?

    Daraus ergibt sich folgende Gleichung, wobei q = k 0 – k :

    Dagilt, folgt:

    Wenn die Streuung elastisch ist, ist der Betrag von k gleich dem Betrag von k 0 , und es folgt:

    Wenn man außerdem annimmt, dass V(r) kugelsymmetrisch ist und man die z-Achse entlang q legen kann, dann ist q – r ′ = qr′ cosθ′, und es folgt:

    Das ergibt gerade:

    Dagilt, erhält man folgende Gleichung:

    Sie sind in diesem Kapitel sehr weit gekommen, von der Schrödinger-Gleichung bis zur Born'schen Näherung und nun zur obigen Gleichung für ein schwaches kugelsymmetrisches Potential. Wie wäre es, wenn wir jetzt mit ein paar konkreten Zahlen rechnen würden?

Mit der Born'schen Näherung rechnen
    In diesem Abschnitt berechnen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt für zwei elektrisch geladene Teilchen der Ladung Z 1 e und Z 2 e. Das Potential lautet in diesem Fall:

    In der ersten Born'schen Näherung lautet der differentielle Wirkungsquerschnitt:

    Daist, erhält man folgenden Ausdruck:

    Da q = 2k sin(θ/2) ist, folgt des Weiteren:

    Dabei ist E die kinetische Energie des einfallenden Teilchens:
    Jetzt werden wir noch etwas genauer: Stellen Sie sich vor, Sie jagen ein Alpha-Teilchen mit Z 1 = 2 auf einen Goldkern mit Z 2 = 79. Was bedeutet es im Schwerpunktsystem, wenn der Streuwinkel im Laborsystem 60° beträgt?
    Das Verhältnis der Teilchenmassen m 1 /m 2 beträgt in diesem Fall 0,02. Wenn θ lab = 60°, folgt für θ, den Streuwinkel im Schwerpunktsystem:

    Löst man diese Gleichung für θ, so erhält man θ = 61°. Wie lautet dann der Wirkungsquerschnitt für diesen Winkel? Nehmen Sie die Gleichung:

    Wenn die Energie des Alpha-Teilchens 8 MeV beträgt, dann ergibt das Einsetzen der Zahlen:

    Das ist die Größe des Targets – der Wirkungsquerschnitt – den man treffen muss, um die beobachteten Streuwinkel zu erzeugen.

Das Wichtigste von Kapitel 13 noch einmal in Kürze
    In einem typischen Streuexperiment wird ein Target, das beispielsweise aus Teilchen des Typs 2 besteht, mit einem Teilchenstrahl aus Typ 1 beschossen. Vor dem Stoß ruht Teilchen 2, Teilchen 1 bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit v; der Schwerpunkt bewegt sich gleichförmig, während der Stoß nur die Relativkoordinaten beeinflusst. Dabei zählt man die Teilchen eines Typs, die in eine bestimmte Richtung emittiert werden.
    In der Streutheorie ist es aber üblich, das Bezugssystem zu wechseln und diesen Vorgang