Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

der Erläuterung der Bornschen Näherung, einer Methode zur Berechnung der Streuamplitude.

Teilchenstreuung und Wirkungsquerschnitt
    Bei Streuexperimenten unterscheidet man einfallende Teilchen und gestreute Teilchen. Betrachten Sie das Beispiel in Abbildung 13.1 . In der Darstellung fliegen die Teilchen in einem Strom von links her ein und treffen dann auf ein Ziel (Target). Die meisten Teilchen setzen ihren Weg unbeeinflusst fort, doch einige interagieren auch mit dem Target und werden gestreut.
     
    Abbildung 13.1 : Streuung an einem Target
    Die Teilchen, die gestreut werden, werden unter einem bestimmten Winkel in drei Dimensionen gestreut. Der Streuwinkel wird als Winkelelement dΩ angegeben, das gerade gleich sin θ dθ dφ ist, wobei φ und θ die Kugelkoordinaten sind, die in Kapitel 8 eingeführt wurden.
    Die Zahl der Teilchen, die in einer bestimmten Zeit in ein bestimmtes Winkelelement dΩ gestreut werden, ist proportional zu einer wichtigen Größe der Streutheorie: dem differentiellen Wirkungsquerschnitt.
    Der differentielle Wirkungsquerschnitt (oder Streuquerschnitt) ist gegeben durch; er ist ein Maß für die Zahl der Teilchen, die pro Sekunde pro einfallendem Fluss in das Winkelelement dω gestreut werden. Der einfallende Fluss J (auch Stromdichte genannt) ist die Zahl der einfallenden Teilchen pro Einheitsfläche pro Zeiteinheit. Damit gilt für den differentiellen Wirkungsquerschnitt:

    Dabei ist N (φ, θ) die Anzahl der Teilchen unter den Winkeln φ und θ.
    Der differentielle Wirkungsquerschnitthat die Dimension einer Fläche, der Name Wirkungsquerschnitt ist also passend. Während also der differentielle Wirkungsquerschnitt für die Streuung eines Teilchens in ein bestimmtes Winkelelement ist z.B. das Zentrum der Zielscheibe, entspricht der totale Wirkungsquerschnitt der gesamten Scheibe.
    Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist der Wirkungsquerschnitt für die Streuung in ein bestimmtes Winkelelement. Der totale Wirkungsquerschnitt σ ist ein Maß dafür, dass irgendetwas in einen beliebigen Winkel gestreut wird. Wenn also der differentielle Wirkungsquerschnitt für die Streuung in ein bestimmtes Winkelelement wie die »schwarze Zehn« ist, so entspricht der totale Wirkungsquerschnitt dem gesamten Target.
    Man kann den totalen Wirkungsquerschnitt zum differentiellen Wirkungsquerschnitt mithilfe der folgenden Integration in Beziehung setzen:

Wechsel zwischen Schwerpunktsystem und Laborsystem
    Jetzt können Sie beginnen, sich mit den Details der Streutheorie zu beschäftigen, indem Sie das Schwerpunktsystem dem Laborsystem gegenüberstellen. Experimente finden im Laborsystem statt. Doch die Rechnungen der Streutheorie erfolgen im Schwerpunktsystem, weshalb Sie wissen müssen, wie man zwischen beiden Systemen wechselt. Der folgende Abschnitt zeigt, wie sich die beiden Systeme unterscheiden und wie man Streuwinkel und Wirkungsquerschnitte umrechen muss, wenn man das System wechselt.

Die Streuung beschreiben
    Abbildung 13.2 beschreibt die Streuung im Laborsystem. Ein Teilchen, das sich mit der Geschwindigkeit v 1lab bewegt, stößt auf ein anderes Teilchen, das sich in Ruhe befindet (v 2lab = 0). Durch den Zusammenstoß wird Teilchen 1 unter einem Winkel θ 1 gestreut und bewegt sich nun mit der Geschwindigkeit v′ 1lab . Das andere Teilchen wird unter dem Winkel θ 2 gestreut und bewegt sich nach dem Stoß mit der Geschwindigkeit v′ 2lab .
     
    Abbildung 13.2 : Streuung im Laborsystem
    Im Schwerpunktsystem ist dagegen der Schwerpunkt der beiden Teilchen, die sich aufeinander zu bewegen, in Ruhe. Nach dem Zusammenstoß bewegen sie sich unter den Winkeln θ und π – θ wieder voneinander fort.
    Sie müssen zwischen diesen beiden Systemen – Schwerpunkt- und Laborsystem – hin und her wechseln, das heißt, Sie müssen die Ausdrücke für Geschwindigkeit und Winkel in beiden Systemen in Verbindung bringen (in nicht relativistischer Weise).

Die Streuwinkel umrechnen
    Zunächst sollen die Winkel θ und θ 1 betrachtet werden. Man kann mithilfe von v sp , der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts, v 1lab und v 1s , die Geschwindigkeit von Teilchen 1 im Schwerpunktsystem, folgendermaßen zueinander in Beziehung setzen:

    Nach dem Zusammenstoß von Teilchen 1 mit Teilchen 2 gilt außerdem:

    Jetzt kann man die Komponenten dieser Geschwindigkeiten bestimmen:

    Teilt man die zweite Gleichung durch die erste, so ergibt sich folgender Ausdruck:

    Aber wäre es nicht besser, die Formel würde