Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

nicht die Geschwindigkeiten, sondern die Massen enthalten, wie etwa die folgende?

    Ja, das geht. Man kann Folgendes zeigen:

    Und außerdem:

    Man kann die Erhaltung des Drehimpulses benutzen, um herauszufinden, was nach dem Stoß passiert. Da sich der Schwerpunkt im Schwerpunktsystem in Ruhe befindet, ist der Gesamtdrehimpuls in diesem System vor und nach dem Stoß gleich null. Es gilt somit:

    Deshalb folgt:

    Nach dem Stoß gilt, damit folgt:

    Wenn der Stoß elastisch ist (Sie können davon ausgehen, dass alle Stöße in diesem Kapitel elastisch sind), bleibt neben dem Drehimpuls auch die kinetische Energie erhalten. Somit gilt die folgende Gleichung:

    Setzt manundin diese Gleichung ein, so gilt:

    Mithilfe dieser beiden Gleichungen kann mannochmals umschreiben:

    Teilt mandurch diese Gleichung, so erhält man:

    Weiter oben wurde gezeigt, dassgilt. Setzt manin diese Gleichung ein, erhält man folgende Beziehung:

    Das stellt genau die Verbindung zwischen θ 1 und θ her, die Sie erhalten wollten. Benutzt man die Beziehung, so kann manin folgenden Ausdruck umschreiben:

    Man kann ganz analog θ 2 und θ zueinander in Beziehung setzen. Man kann zeigen, dassist und zudem, wenn man einen kleinen Trick anwendet, dass Folgendes gilt:

    Nun haben Sie also eine Beziehung zwischen den Winkeln im Labor- und im Schwerpunktsystem hergestellt. Wie sieht es mit den Wirkungsquerschnitten in beiden Systemen aus? Das folgt im nächsten Abschnitt.

Die Wirkungsquerschnitte umrechnen
    Im vorangegangenen Abschnitt wurde die Verbindung der Winkel θ 1 und θ 2 zu θ aufgezeigt, die Winkel der gestreuten Teilchen im Labor- und im Schwerpunktsystem. Welche Beziehung gilt für den differentiellen Wirkungsquerschnitt – das Zentrum der Zielscheibe für das Streuen von Teilchen in ein bestimmtes Winkelelement – beim Wechsel der Koordinatensysteme?
    Das Differential dσ ist infinitesimal klein und bleibt dasselbe in den beiden Systemen. Doch die Winkel, die das Raumelement dΩ ausmachen, verändern sich, wenn man zwischen beiden Systemen wechselt. Im Folgenden wird gezeigt, wie man den differentiellen Wirkungsquerschnitt im Laborsystem

    zum differentiellen Wirkungsquerschnitt im Schwerpunktsystem

    in Beziehung setzt.
    Im Laborsystem gilt dΩ 1  = sinθ 1  dθ 1  dφ 1 . Im Schwerpunktsystem gilt dΩ = sinθ dθ dφ. Da dσ lab  = dσ sp ist, gilt die folgende Gleichung:

    Verbindet man diese Gleichung mit den obigen für das Labor- und Schwerpunktsystem, so erhält man:

    Da in diesem Fall zylindrische Symmetrie vorliegt, gilt φ = φ 1 . Somit folgt:

    Sie haben bereits gesehen, dass
    Somit gilt folgende Gleichung:

    Daraus folgt:

    Sie können genauso zeigen, dass folgende Gleichung gilt:

Teilchen gleicher Masse im Laborsystem
    Stellen Sie sich vor, Sie haben zwei Teilchen der gleichen Masse, die im Laborsystem zusammenstoßen (wo ein Teilchen zunächst ruht). Jetzt soll gezeigt werden, dass sich die beiden Teilchen nach der Streuung im Laborsystem unter einem rechten Winkel zueinander bewegen.
    Wenn m 1 = m 2 ist, folgt ausdie Gleichung tan(θ 1 ) = tan(θ/2), somit gilt θ 1 = θ/2.
    Ausfolgt in diesem Fall:

    Beachten Sie außerdem, dass dann tan(θ 2 ) = cot(θ/2) bzw. tan(θ 2 ) = tan(π/2 – θ/2) gilt.
    Sie wissen, dass θ 1 = θ/2 ist; aus tan(θ 2 ) = tan(π/2 – θ/2) folgt:

    Setzt man θ 1 = θ/2 in diese Gleichung ein, ergibt sich Folgendes:

    Somit addieren sich θ 1 und θ 2 , die Winkel der Teilchen nach dem Stoß im Laborsystem, zu π/2. Das bedeutet θ 1 und θ 2 bilden einen rechten Winkel. Cool.
    Wenn wie hier m 1 = m 2 gilt, vereinfachen sich die obigen Gleichungen folgendermaßen:

Die Streuamplitude von spinlosen Teilchen
    In dem früheren Abschnitt »Wechsel zwischen Schwerpunktsystem und Laborsystem« haben Sie erfahren, wie man vom Laborsystem in das Schwerpunktsystem wechselt und umgekehrt, und diese Umrechnungen gelten sowohl klassisch als auch in der Quantenphysik (jedenfalls solange, wie die beteiligten Geschwindigkeiten nicht relativistisch sind). Im folgenden betrachten Sie im Rahmen der zeitunabhängigen Quantenphysik die elastische Streuung von zwei spinlosen nicht relativistischen Teilchen.
    Gehen Sie davon aus, dass die Wechselwirkung zwischen den beiden Teilchen nur von ihrem relativen Abstand | r 1 – r 2 | abhängt. Sie können Aufgaben dieser Art vereinfachen, indem Sie zwei entkoppelte Probleme daraus machen (Einzelheiten dazu stehen in Kapitel 9). Die erste entkoppelte