Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Gleichung behandelt den Schwerpunkt der Teilchen wie ein freies Teilchen, und die zweite behandelt ein fiktives Teilchen der Masse
    Die erste Gleichung, die den Schwerpunkt betrifft, ist bei der Diskussion der Streuung nicht von Interesse. Die zweite Gleichung ist diejenige, auf die man sich konzentrieren muss:

    Dabei gilt.
    Sie können diese Gleichung benutzen, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Teilchen in ein Winkelelement dΩ gestreut wird; diese Wahrscheinlichkeit wird durch den differentiellen Wirkungsquerschnittangegeben.
    In der Quantenphysik entsprechen Teilchen Wellenpaketen. Bei Streuprozessen müssen diese Wellenpakete so breit sein, dass die Verbreiterung, die bei der Streuung auftritt, unwesentlich ist (das Wellenpaket kann aber auch nicht so breit sein, dass es das gesamte Labor, einschließlich der Detektoren, umfasst). Der springende Punkt ist hier folgender: Nach der Streuung zerfällt die Wellenfunktion in zwei Teile, einen gestreuten und einen ungestreuten Teil. Genau das ist die Streuung in der quantenphysikalischen Welt.

Die Wellenfunktion des einfallenden Teilchens
    Man muss bedenken, dass das Streupotential V(r) auf den sehr engen Bereich a begrenzt ist. Außerhalb dieses Bereichs verhalten sich die beteiligten Wellenfunktionen wie freie Teilchen. Daher ist die Wellenfunktion des einfallenden Teilchens außerhalb des Bereichs von V(r) – also außerhalb der Entfernung a vom anderen Teilchen – durch folgende Gleichung gegeben (weil V(r) = 0 ist):

    wobei
    Der Ausdruckist die Gleichung für eine ebene Welle, somit gilt. Dabei ist A der Normalisierungsfaktor und k 0  ·  r ist das Skalarprodukt aus dem Wellenvektor der einfallenden Welle und r . Mit anderen Worten, Sie behandeln das einfallende Teilchen wie ein Teilchen mit dem Impuls p = k 0 .

Die Wellenfunktion des gestreuten Teilchens
    Nach der Streuung der spinlosen Teilchen ist die ungestreute Wellenfunktion nicht von großer Bedeutung für Sie, im Gegensatz zur gestreuten Wellenfunktion. Die einfallende Wellenfunktion hat die Formdie gestreute Wellenfunktion sieht etwas anders aus:

    Dabei ist f(φ, θ) die Streuamplitude , und diese sollen Sie nun bestimmen. A ist der Normalisierungsfaktor; darüber hinaus gilt:

    Dabei ist E die Energie des gestreuten Teilchens.

Der Zusammenhang zwischen Streuamplitude und differentiellem Wirkungsquerschnitt
    Wenn man die Behandlung der Streuung in der Quantenphysik verstehen will, so ist die Streuamplitude spinloser Teilchen entscheidend. Um das zu verdeutlichen, werden im Folgenden die Flussdichten betrachtet: J ein ist die Flussdichte der einfallenden Teilchen und J st die der gestreuten Teilchen:

    Setzt man die Ausdrücke für φ ein und φ st in diese Gleichungen ein, so folgt:

    Dabei ist f(φ, θ) die Streuamplitude.
    Die Anzahl der Teilchen dN(φ, θ), die in das Winkelelement dΩ gestreut werden und die Fläche dA = r 2 dΩ passieren, lautet als Ausdruck des Flusses:

    Setzt manin diese Gleichung ein, so erhält man:

    Mit der zu Beginn des Kapitels verwendeten Gleichungergibt sich folgender Ausdruck:

    Und jetzt folgt der Trick: Bei der elastischen Streuung ist k = k 0 , und somit erhält man als Ergebnis:

    Das Problem, den differentiellen Wirkungsquerschnitt zu bestimmen, hat sich somit zur Bestimmung der Streuamplitude vereinfacht.

Bestimmung der Streuamplitude
    Um die Streuamplitude – und damit den differentiellen Wirkungsquerschnitt – eines spinlosen Teilchens zu bestimmen, muss man die Schrödinger-Gleichung lösen:

    Diese lässt sich auch folgendermaßen formulieren:

    Die Lösung dieser Differentialgleichung kann man als Summe aus einem homogenen und einem inhomogenen Anteil schreiben:

    Die homogene Lösung erfüllt die Gleichung:

    Die homogene Lösung ist eine ebene Welle; sie entspricht der einfallenden ebenen Welle:

    Will man betrachten, was bei der Streuung passiert ist, so muss man die inhomogene Lösung finden. Das macht man mithilfe der Green'schen Funktion . Die Lösung vonist:

    Dabei ist
    Man kann diesen Ausdruck umformen:

    Man kann diese Gleichung als Ausdruck der ankommenden und/oder der auslaufenden Welle lösen. Da das gestreute Teilchen eine auslaufende Welle ist, hat die Green'sche Funktion die folgende Form:

    Sie wissen Folgendes:

    Setzt manin diese Gleichung ein, so folgt:

    Damit hat man für die Wellenfunktion ψ(r) eine Integralgleichung erhalten. Aber wie wollen Sie dieses Mordsding lösen? Natürlich, Sie können die Born'sche