Das lebendige Theorem (German Edition)

Mathematica

    Lieber Professor Sjöstrand,
    Auf Ihren Brief vom 23. Oktober hin möchten wir gerne eine neue Version unserer Arbeit On Landau damping zur möglichen Veröffentlichung in Acta Mathematica einreichen.
    Wir haben die Bedenken, die von einigen der Experten in den Fachgutachten zu unserer ersten Einreichung geäußert wurden, besonders zur Kenntnis genommen. Wir glauben, dass diese Bedenken in der gegenwärtigen, erheblich verbesserten Version vollständig berücksichtigt werden.
    Erstens und wahrscheinlich am wichtigsten deckt das Hauptergebnis jetzt Coulomb- und Newton-Potentiale ab; in einem analytischen Rahmen war das die einzige verbleibende Lücke in unserer Analyse.
    Die Analytizität ist sowohl in der Physik als auch in der Mathematik eine klassische Annahme beim Studium der Landau-Dämpfung; sie ist für die exponentielle Konvergenz zwingend notwendig. Andererseits ist sie sehr starr, und einer der Gutachter beklagte sich darüber, dass unsere Ergebnisse nicht ohne die Analytizität auskommen können. Bei dieser neuen Version ist das nicht mehr der Fall, da wir jetzt in der Lage sind, einige Klassen von Gevrey-Daten zu behandeln.
    In der ersten Version schrieben wir: »Wir behaupten, dass, falls kein neuer Stabilitätseffekt entdeckt wird, es keinen Grund dafür gibt, an eine nichtlineare Landau-Dämpfung für beispielsweise Gravitationswechselwirkungen in irgendeiner schwächeren als analytischen Regularitätsklasse zu glauben.« Inzwischen haben wir genau einen solchen Effekt entdeckt (Echos mit verschiedenen Frequenzen sind asymptotisch gut voneinander getrennt). Die Ausnutzung dieses Effekts führte zu den oben erwähnten Verbesserungen.
    Als Korollar enthält unsere Arbeit jetzt neue Stabilitätsergebnisse für homogene Gleichgewichte der Wlassow–Poisson-Gleichung, wie z.B. die Stabilität bestimmter nichtmonotoner Verteilungsfunktionen im Fall der Abstoßung (ein seit langem offenes Problem) und die Stabilität unterhalb der Jeans-Länge im Fall der Anziehung.
    Ein anderes Bedenken, das von einem Experten geäußert wurde, betrifft unsere Verwendung nichtkonventioneller Funktionsräume. Während das bei unserer »Arbeitsnorm« so sein mag, ist es doch nicht der Fall bei der naiven Norm, die in unseren Annahmen und Schlussfolgerungen erscheint und bereits von anderen verwendet wurde. Der Übergang von der einen Norm zur anderen geschieht anhand des Theorems 4.20.
    Wir haben den Artikel völlig neu geschrieben, um diese Verbesserungen einzubauen, und haben sorgfältig Korrektur gelesen. Um eine weitere Aufblähung des Umfangs zu vermeiden, haben wir alle Ausführungen und Kommentare gestrichen, die nicht strikt mit unserem Hauptergebnis verbunden waren; die meisten verbleibenden Bemerkungen haben den Zweck, einfach nur die Ergebnisse und Methoden zu erklären.
    Als Schlussbemerkung zur Länge unserer Arbeit: Wir sind offen für Anpassungen der Gliederung des Artikels, und wir möchten darauf hinweisen, dass die modulare Präsentation der Werkzeuge, die wir bei unserer Arbeit verwenden, den Weg für eine Teamarbeit der mit der Überprüfung der Ergebnisse beauftragten Gutachter ermöglicht.
    Wir hoffen sehr, dass dieser Artikel die Experten zufriedenstellen wird und verbleiben
    Mit freundlichen Grüßen,

    Clément Mouhot & Cédric Villani

Die Tyger von Frisch
    Tygerphänomen für die trunkierten Gleichungen von Burgers und Euler (1h00’) von Uriel Frisch
    Es wird gezeigt, dass die Lösungen inkompressibler hydrodynamischer Gleichungen nach Unterdrückung aller Fouriermoden mit Frequenzen, die über einem Schwellenwert k g liegen, unerwartete Eigenschaften aufweisen. Die Untersuchung wird sowohl für die eindimensionale Burgers-Gleichung als auch für die zweidimensionale Euler-Gleichung durchgeführt. Bei großem k g und glatten Anfangsbedingungen wird das erste Anzeichen einer Trunkierung, eine auf eine kleine Länge lokalisierte Oszillation, die wir »Tyger« nennen, von einer resonanten Wechselwirkung zwischen der Bewegung von Flüssigkeitsteilchen und Trunkierungswellen ausgelöst, die von Charakteristiken von kleinen Skalen hervorgerufen werden (Stöße, Grenzschichten mit starken Verwirbelungsgradienten usw.). Diese Tyger treten in Erscheinung, wenn Singularitäten in der komplexen Ebene sich der reelen Achse um weniger als eine Galerkin-Wellenlänge λ g = 2π/k g nähern und die normalerweise fernab von schon bestehenden Strukturen bei kleinen Skalen entstehen, an Orten, wo die