Homers letzter Satz: Die Simpsons und die Mathematik (German Edition)

Klebeband,
    (c) eine vierte Dimension.
    Wer, wie ich, gerade keine vierte Dimension zur Hand hat, muss sich vorstellen, wie man theoretisch eine Pseudo-Klein’sche Flasche in drei Dimensionen baut.
    Zunächst rollt man die Gummimatte zu einem Zylinder auf und klebt sie der Länge nach zusammen, wie in der ersten Grafik auf der nächsten Seite dargestellt. Dann markiert man die beiden Enden des Zylinders mit Pfeilen, die in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Der nächste Schritt ist der schwierigste, denn man muss den Zylinder so verdrehen, dass man die beiden Enden miteinander verbinden kann, sodass sie in dieselbe Richtung zeigen.
    An diesem Punkt wäre die vierte Dimension sehr nützlich, aber wir müssen uns eben mit einem kleinen Trick behelfen. Wie in den mittleren beiden Grafiken gezeigt, biegt sich der Zylinder zu sich selbst zurück. Nun stelle man sich vor, das eine Ende des Zylinders würde die eigene Wand durchdringen und darin stecken bleiben. Nach der Selbstüberschneidung rollt man das eindringende Ende des Zylinders nach unten wie in der vierten Grafik, bis die beiden Enden des Zylinders verbunden sind. Entscheidend ist, dass die beiden Pfeile an den Enden des Zylinders, nachdem diese Verbindung hergestellt ist, in dieselbe Richtung zeigen.
    Sowohl die Klein’sche Flasche als auch die Bierflasche der Marke Klein in Futurama überschneiden sich selbst, weil sie beide in drei Dimensionen existieren. Eine Klein’sche Flasche in vier Dimensionen müsste sich nicht selbst überschneiden. Um zu zeigen, warum das so ist, stellen wir uns eine ähnliche Situation mit weniger Dimensionen vor.

Man male dazu eine Acht mit einem Stift auf ein Stück Papier. Die gemalte Linie überschneidet sich unvermeidlich in der Mitte der Acht, so wie der Zylinder sich selbst in der Mitte der Klein’schen Flasche überschneidet. Die gezeichnete Linie überschneidet sich, weil die Linie auf einer zweidimensionalen Oberfläche gefangen ist. Wenn man jedoch eine dritte Dimension hinzufügt und die Acht aus einem Stück Seil formt, tritt dieses Problem nicht auf. Ein Teil des Seils kann in die dritte Dimension ausweichen, wenn es einen anderen Teil überquert, sodass es zu keiner Überschneidung kommt. Wenn der Gummizylinder in die vierte Dimension ausweichen könnte, dann könnte man auch eine Klein’sche Flasche herstellen, die sich nicht selbst überschneidet.
    Ein anderes Anschauungsbeispiel dafür, dass die Klein’sche Flasche sich in drei Dimensionen selbst überschneidet, in vier Dimensionen aber nicht, ist das Aussehen einer Windmühle in drei Dimensionen im Vergleich zu zwei Dimensionen. In drei Dimensionen sieht man, wie die Flügel vor dem Turm vorbei streichen. Wenn man aber den Schatten der Windmühle auf dem Boden betrachtet, sieht die Sache anders aus. In dieser zweidimensionalen Darstellung sieht es so aus, als würden die Flügel immer wieder durch den Turm streichen. Die Flügel überschneiden den Turm in dieser zweidimensionalen Projektion, aber nicht in der dreidimensionalen Welt.
    Die Klein’sche Flasche unterscheidet sich offensichtlich in ihrem Aufbau von einer normalen Flasche und hat dadurch eine bemerkenswerte Eigenschaft. Dies wird deutlich, wenn man in Gedanken über die Oberfläche der Flasche wandert in Richtung des schwarzen Pfeils, der sich in der Abbildung auf der Außenfläche der Klein’schen Flasche befindet.
    Man bewegt sich dabei nach oben, dreht auf der Außenseite der Flasche eine Schleife und bewegt sich dann hinunter zum Schnittpunkt, wo sich der graue Pfeil befindet. Damit wird angedeutet, dass der Pfad nun auf die Innenseite der Flasche einbiegt. Wenn man sich weiter vorwärtsbewegt, erreicht man den Ausgangspunkt, der sich nun allerdings auf der Innenseite der Flasche befindet. Wenn man dem Pfad weiter hoch zum Hals der Flasche folgt und wieder hinab zu ihrem Fuß, kehrt man auf die Außenseite zurück und erreicht die tatsächliche Ausgangsposition. Der Pfad zieht sich übergangslos über die Innen- und die Außenseite der Klein’schen Flasche. Das bedeutet, dass die beiden Oberflächen in Wirklichkeit Teil derselben Oberfläche sind.

    Ohne eine klare Unterscheidung zwischen Innen- und Außenseite fehlt der Klein’schen Flasche natürlich eine essenzielle Eigenschaft für ein voll nutzbares Trinkgefäß. Denn wie soll man Bier in eine Klein’sche Flasche füllen, wenn innen und außen dasselbe sind?
    Klein selbst bezeichnete seine Schöpfung niemals als Flasche. Sie hieß