Je mehr Löcher, desto weniger Käse

  b   +   c. Wir nehmen an, dass a die größte der drei Zahlen ist und b die zweitgrößte (a   ≥   b   ≥   c). Dann ist a   ×   b   ×   c   =   a   +   b   +   c   ≤   3a und damit b   ×   c   ≤   3. Diese Bedingung erfüllen nur drei Zahlenpaare: b   =   3;c   =   1, b   =   2;c   =   1 und b   =   1;c   =   1. Die einzig mögliche Lösung, abgesehen von Vertauschungen der drei Zahlen, ist dann: a   =   3;b   =   2;c   =   1.
    Aufgabe 19
    Finden Sie alle Paare (x; y) reeller Zahlen, die das Gleichungssystem
x 2   +   4y   =   21
y 2   +   4x   =   21
erfüllen.
    x 2   +   4y   =   21
y 2   +   4x   =   21
    Wir subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten und erhalten:
    x 2   –   y 2   –   4(x   –   y) =   0
(x   –   y)(x   +   y)   –   4(x   –   y) =   0
(x   –   y)(x   +   y   –   4)   =   0
    Das Produkt zweier Zahlen ist dann null, wenn mindestens eine der Zahlen null ist. Also gilt entweder x   =   y oder x   +   y   =   4.
    Im Fall x   =   y kommt man auf x 2   +   4x – 21   =   0 und damit
    (x   +   2) 2   =   25
x   +   2   =   ±   5
x   =   –2   ±   5
    Also ist (x;y) entweder (–7;–7) oder (3;3). Im Fall y   =   4   –   x muss gelten:
    x 2   +   16   –   4x   =   21
x 2   –   4x   –   5   =   0
    (x   –   2) 2   =   9
x   –   2 = ±   3
x   =   2   ±   3
    Daraus ergibt sich für (x;y) (–1;5) oder (5;–1). Das Gleichungssystem hat damit vier verschiedene Lösungen.
    Aufgabe 20
    Vererbtes Weingut: Ein Vater möchte seinen drei Kindern 7 volle, 7 halb volle und 7 leere Fässer vermachen. Jedes Kind soll die gleiche Zahl Fässer und die gleiche Menge Wein bekommen – umfüllen ist nicht erlaubt. Wie muss er die Fässer aufteilen?
    Die zu verteilende Weinmenge entspricht 10,5 Fässern – das bedeutet, dass jedes Kind 3,5 Fässer Wein und damit auf jeden Fall je ein halb volles Fass bekommen muss. Dann müssen wir noch 7 volle, 4 halb volle und 7 leere Fässer verteilen. 4 halb volle Fässer entsprechen vom Weinvolumen und der Fassanzahl genau 2 vollen und 2 leeren Fässern. Also können wir die verbleibende Aufgabe auch so formulieren: Verteile 9 volle und 9 leere Fässer auf drei Leute, was natürlich kein Problem mehr darstellt. Die beiden ersten Kinder bekommen je 3 volle und 3 leere, das dritte Kind ein volles, ein leeres und 4 halb volle. Damit sind Wein und Fässer gerecht verteilt. Alternativ bekommt das erste Kind 3 volle und 3 leere Fässer, und die beiden anderen Kinder erhalten je 2 volle, 2 halb volle und 2 leere Fässer.
    Aufgabe 21
    Paul hat folgende Methode für das Quadrieren zweistelliger Zahlen entdeckt.

     
    Erklären Sie diese Methode und berechnen Sie auf die gleiche Weise 59 2 , 82 2 und 19 2 . Warum funktioniert dieses Rechenverfahren?

    Paul addiert 6   ×   7   ×   10, 6 2   ×   100, 7 2 und 6   ×   7   ×   10. Dass die Methode funktioniert, ergibt sich direkt aus der binomischen Formel (a   +   b) 2   =   a 2   +   b 2   +   2ab. Wir setzen a   =   6   ×   10 und für b   =   7:
    (6   ×   10   +   7) 2   =   (6   ×   10) 2   +   7 2   +   2   ×   6   ×   10   ×   7
      =   6   ×   10   ×   7   +   6 2   ×   100   +   7 2   +   6   ×   7   ×   10

    Aufgabe 22
    Ein Mann will in einem kreisrunden See schwimmen. Er springt am Ufer ins Wasser und krault genau 30 Meter nach Osten, bis er das Ufer erreicht. Dann wendet er sich nach Süden und krault weiter. Nach 40 Metern erreicht er wiederum das Ufer. Welchen Durchmesser hat der See?
    Der Mann ist im rechten Winkel geschwommen, weil er erst genau nach Osten und dann genau nach Süden unterwegs war. Also bilden die beiden Strecken die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Andererseits wissen Sie vielleicht noch aus der Schule, dass ein Sehnendreieck (alle Eckpunkte liegen auf einem Kreis) genau dann rechtwinklig ist, wenn die größte Seite des Dreiecks so lang ist wie der Durchmesser des Kreises (Satz des Thales). Damit ist klar, dass der gesuchte Durchmesser des Sees genau der Hypotenuse des Dreiecks entspricht. Nach dem Satz des Pythagoras gilt d 2   =   30 2   +   40 2   =   900   +   1600   =   2500   =   50 2 . Also ist d   =   50.
    Aufgabe 23
    Finden Sie alle dreistelligen Primzahlen, bei denen die erste Ziffer um eins größer ist als die mittlere und die