Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

gilt jeweils.
    Sowohl im Fall des würfelförmigen Potentials als auch beim harmonischen Oszillator ist die Energie entartet. Das bedeutet, dass zwei oder mehr Zustände zur selben Energie gehören (beim würfelförmigen Potential gilt beispielsweise E 211 = E 121 = E 112 ) können. Man bezeichnet die Anzahl unabhängiger Lösungen zum gleichen Energieeigenwert als Entartungsgrad n. Eine n-fache Entartung liegt somit vor, wenn n Zustände dieselbe Energie besitzen. Die Ursache für eine Entartung ist generell eine Symmetrie des betrachteten physikalischen Systems. Wie in Kapitel 10 gezeigt wird, sind beim Wasserstoffatom alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet.

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    Probleme in drei Dimensionen: Kugelkoordinaten
    In diesem Kapitel ...
    Problemstellungen in Kugelkoordinaten
    Freie Teilchen in Kugelkoordinaten
    Sphärisch-symmetrische Potentialtöpfe
    Isotrope harmonische Oszillatoren
    Bei der Behandlung dreidimensionaler quantenmechanischer Probleme zeigt sich sehr schnell, dass die Verwendung kartesischer Koordinaten nicht immer der sinnvollste Weg ist, um eine Aufgabe zu lösen. Daher ist es manchmal notwendig, zu anderen Koordinatensystemen überzugehen. Auch diesen Vorgang kennen Sie bereits aus der klassischen Physik: Wenn Sie von Translationsbewegungen zur Rotation übergehen, wechseln Sie ebenfalls die Betrachtungsweise. Bei der Beschreibung linearer Bewegungen verwendet man die Größen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung (also kartesische Koordinaten); betrachtet man dagegen Kreisbewegungen, so ist es sinnvoll, die Größen Winkel, Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung einzusetzen, also die Rotationssymmetrie auszunutzen.
    Das gleiche Prinzip gilt auch in der Quantenmechanik: Betrachtet man ein Teilchen, das in einem Potential eingeschlossen ist, das Kugelsymmetrie besitzt, so sollte man zu Kugelkoordinaten übergehen.
    Da bei der Behandlung des Drehimpulses in Kapitel 6 bereits Kugelkoordinaten verwendet wurden und Sie demzufolge schon Erfahrung im Umgang mit dieser Art von Koordinatensystem gesammelt haben, folgt an dieser Stelle nur eine kurze Wiederholung der wichtigsten Begriffe.

Zentralpotentiale im Dreidimensionalen
    Abbildung 9.1 zeigt das Kugelkoordinatensystem mit den entsprechenden rechtwinkligen Koordinaten x, y und z. Der Ort eines Teilchens wird in Kugelkoordinaten durch den Radiusvektor r beschrieben, der aus drei Komponenten besteht:
    Die Komponente r gibt die Länge des Radiusvektors an.
    θ ist der Winkel, den r mit der z-Achse bildet.
    φ ist der Winkel zwischen der Projektion von r auf die x-y-Ebene und der x-Achse.
     
    Abbildung 9.1 : Das Kugelkoordinatensystem
    In diesem Kapitel wird die Bewegung in Zentralpotentialen behandelt; das sind kugelförmige symmetrische Potentiale, bei denen V( r ) = V(r) gilt. Das bedeutet, dass das Potential unabhängig von der Richtung des Radiusvektors ist, sondern nur vom Betrag von r (der r ist), nicht aber vom Winkel von r abhängt.
    Wenn Sie Probleme mit Zentralpotentialen lösen wollen, so können Sie die Wellenfunktion in einen radialen Teil (der von der Form des Potentials abhängt) und einen Winkelteil trennen, der sphärisch harmonisch ist.

Die Schrödinger-Gleichung zerlegen
    Im Dreidimensionalen lautet die Schrödinger-Gleichung wie folgt:

    wobei Δ der Laplace-Operator ist (in Kapitel 2 findet man mehr über Operatoren).
    In rechtwinkligen Koordinaten lautet der Laplace-Operator:

    In Kugelkoordinaten sieht er ein bisschen anders aus, aber das kann man später vereinfachen. Der sphärische Laplace-Operator lautet:

    Dabei ist L 2 das Quadrat des Bahndrehimpulses:

    Daher lautet die Schrödinger-Gleichung für ein Zentralpotential in Kugelkoordinaten wie folgt:

    Betrachten Sie die letzte Gleichung genau. Der erste Term entspricht der radialen kinetischen Energie , also der kinetischen Energie des sich in radialer Richtung bewegenden Teilchens. Der zweite Term entspricht der kinetischen Rotationsenergie und der dritte der potentiellen Energie .
    Was können Sie nun über die Lösung dieser Schrödinger-Gleichung sagen? Sie können erkennen, dass der erste Term nur von r abhängt, ebenso wie der dritte. Der zweite Term enthält dagegen L 2 . Da Sie die Eigenfunktionen von L 2 bereits in Kapitel 6 bestimmt haben, können Sie an dieser Stelle folgenden Separationsansatz machen:

    Somit kann man die Wellenfunktion ψ( r ) = ψ(r,θ,φ) in zwei Teile separieren:
    Einen radialen Teil.
    Einen von den Winkeln abhängigen