Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

lösen:

Der isotrope harmonische Oszillator
    Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dem kugelsymmetrischen harmonischen Oszillator in drei Dimensionen. Im Eindimensionalen lautet das Potential des harmonischen Oszillators:

    wobei ω 2 = k/m (k ist hier die Federkonstante; die Rückstellkraft des harmonischen Oszillators ist F = –kx). Man kann diese beiden Gleichungen ins Dreidimensionale übertragen, indem man x durch r ersetzt:

    wobei ω 2 =k/m ist. Da dieses Potential kugelsymmetrisch ist, hat die Wellenfunktion die folgende Form:

    Jetzt muss noch die Radialfunktion R nl (r) bestimmt werden; Y lm (θ, φ) sind die Kugelfunktionen.
    Die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung lautet:

    Ersetzt man V(r) durchso erhält man:

    Die Lösung dieser Gleichung ist wirklich nicht einfach, und Sie haben nichts davon, wenn Sie sich durch die notwendige Mathematik quälen (Seiten über Seiten). Deshalb folgt hier die Lösung:

    wobei gilt:

    Die Funktionensind die zugeordneten Laguerre-Polynome:

    Sind Sie jetzt froh, dass Sie sich nicht durch diese Mathematik arbeiten mussten? Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:

    Okay, damit kennen Sie R nl (r). Um die Wellenfunktion ψ nlm (r, θ, φ) zu erhalten, muss man mit den Kugelfunktionen Y lm (θ, φ) multiplizieren:

    Die ersten Wellenfunktionen für den isotropen harmonischen Oszillator in Kugelkoordinaten lauten:

    Wie Sie hier gesehen haben, wird die Wellenfunktion sehr schnell sehr kompliziert, wenn man ein Potential betrachtet, das von r 2 abhängt, wie hier beim harmonischen Oszillator.
    Die Energie eines dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist quantisiert, und man kann für die Energieniveaus die folgende Formel ableiten:

    Die Energieniveaus beginnen also beiund gehen dann weiter mitund so weiter.

Das wichtigste von Kapitel 9 noch einmal in Kürze
    In diesem Kapitel wurde die Bewegung von Teilchen in dreidimensionalen Zentralpotentialen ausführlich untersucht. Die charakteristische Eigenschaft eines Zentralpotentials besteht darin, dass das Potential V(r) nur vom Abstand |r| des Teilchens vom Kraftzentrum, nicht aber von der Richtung des Vektors r abhängt, der vom Zentrum zum Teilchen weist. In diesem Fall besitzt der Hamilton-Operator Kugelsymmetrie. Verwendet man Kugelkoordinaten, so lässt sich die Schrödinger-Gleichung in zwei unabhängige Gleichungen aufspalten.
    Das bedeutet, dass man die Wellenfunktion als Produkt aus einer radiusabhängigen Funktion R nl (r) und den Kugelflächenfunktionen Y lm (θ, φ) darstellen kann:

    Dabei ist n die Hauptquantenzahl, l die Drehimpulsquantenzahl und m die magnetische Quantenzahl.
    Somit hat man die Lösung der Schrödinger-Gleichung auf die Lösung einer nur vom Abstand |r| abhängigen Differentialgleichung reduziert.
    In den folgenden Abschnitten wurde die Wellenfunktion bzw. die Radialgleichung für verschiedene Beispiele untersucht. Dabei zeigte sich erneut der enge Zusammenhang zwischen der Quantenmechanik und der Mathematik. Auch in diesen Beispielen liefern aus der Funktionentheorie wohlbekannte Funktionen die Lösungen, die sphärischen Bessel- und Neumann-Funktionen.

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    Wasserstoffatome verstehen
    In diesem Kapitel ...
    Die Schrödinger-Gleichung für Wasserstoff
    Die radialen Wellenfunktionen
    Entartung der Energie
    Der Aufenthaltsort des Elektrons
    Eine der herausragenden Leistungen der Physik besteht in dem vollkommenen Verständnis des Aufbaus des Periodensystems der Elemente, das wiederum auf der Kenntnis des Atomaufbaus aller Atome beruht. Die Prinzipien, die dem Atomaufbau zugrunde liegen, wurden größtenteils im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts am Wasserstoffatom abgeleitet. Wichtige Meilensteine waren 1913 das von Niels Bohr entworfene Bohrsche Atommodell, das von der Annahmen eines kleinen, schweren, positiven Atomkerns ausging, und die Erweiterung von Arnold Sommerfeld zum Bohr-Sommerfeldschen Atommodell. Sommerfeld entdeckte dabei die drei räumlichen Quantenzahlen und die Richtungsquantelung des Drehimpulses (siehe Kapitel 6).
    Der Durchbruch bei der Beschreibung des Wasserstoffatoms und die Grundlage der heutigen Modellvorstellung gelang 1925/26 mit der Entwicklung der Quantenmechanik durch Werner Heisenberg (Matrizenmechanik) und Erwin Schrödinger (Wellenmechanik). Diese neue Theorie ermöglichte erstmals die exakte Beschreibung des Wasserstoffatoms. Dabei gelang es Schrödinger mithilfe der Wellenmechanik, nicht nur die Energien zu berechnen, sondern auch die