Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Dimensionen drei unabhängige Schrödinger-Gleichungen:

    Dieses System von unabhängigen Differentialgleichungen ist mit Sicherheit einfacher zu lösen alsSie haben also im Wesentlichen die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung in drei eindimensionale Schrödinger-Gleichungen verwandelt. Das macht das Lösen von 3D-Aufgaben schließlich möglich.

Freie Teilchen im Dreidimensionalen
    Betrachten Sie das freie Teilchen im Dreidimensionalen in Abbildung 8.1 .
     
    Abbildung 8.1 : Ein freies Teilchen im Dreidimensionalen
    Da das Teilchen sich frei bewegt, gilt V(x) = V(y) = V(z) = 0. Damit erhalten die drei unabhängigen Schrödinger-Gleichungen, die im letzten Abschnitt zur Lösung dreidimensionaler Probleme hergeleitet wurden, folgendes Aussehen:

    Drückt man diese Gleichungen mithilfe der Wellenzahl k aus, wobeigilt, so erhält man folgende Gleichungen:

    In den folgenden Abschnitten finden Sie die Lösungen dieser drei Gleichungen, bestimmen die Gesamtenergie und fügen die Zeitabhängigkeit hinzu.

Die Gleichungen für x, y und z
    Zunächst wird die x-Richtung betrachtet:. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:

    Dies beschreibt eine ebene Welle. Normalisieren der Gleichung (wie in Kapitel 3 diskutiert) ergibt Folgendes:

    Die Gleichungen für die y- und z-Komponente haben die gleiche Form:

    Da ψ(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z), erhält man für ψ(x, y, z):

    In der Klammer im Exponenten steht das Skalarprodukt der Vektoren k und r : k · r . Wenn der Vektor a = (a x , a y , a z ) ist und der Vektor b = (b x , b y , b z ), so ist das Skalarprodukt von a und b : a  ·  b = (a x b x , a y b y , a z b z ). Damit folgt für ψ(x, y, z):

Bestimmung der Gesamtenergie
    Die Gesamtenergie des freien Teilchens ist die Summe der Energien in den drei Dimensionen:

    Für ein freies Teilchen ist die x-Komponente der WellenfunktionDiese Gleichung gilt entsprechend auch für die y- und die z-Komponente, sodass für die Gesamtenergie des Teilchens Folgendes gilt:

    Dabei istdas Quadrat des Betrages von k ; also | k| 2 . Daher lautet die Gleichung für die Gesamtenergie:

    Man beachte folgendes: Da E eine Konstante ist, sind die Eigenfunktionen von,undunabhängig davon, wo das Teilchen sich befindet, unendlich entartet, wenn man k x , k y und k z verändert. Egal, wo sich das Teilchen befindet, es besitzt stets die gleiche Energie.

Zeitabhängigkeit führt zu einer physikalischen Lösung
    Man kann die Zeitabhängigkeit zur Lösung von ψ(x, y, z) hinzufügen und erhält ψ(x, y, z, t), wenn man sich daran erinnert, dassDamit erhält man für ψ(x, y, z, t):

    Dagilt, kann man auch Folgendes schreiben:

    Da nun auf der rechten Seite der Gleichung der Ortsvektor r steht, kann man die linke Seite entsprechend schreiben:

    Das ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung, aber sie ist unphysikalisch (wie dies schon für die eindimensionale Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen in Kapitel 3 diskutiert wurde). Warum? Versucht man beispielsweise diese Gleichung für drei Dimensionen zu normalisieren, erhält man Folgendes:

    wobei C eine Konstante ist.
    Demzufolge divergiert das Integral und man kann ψ(r, t), so wie es hier steht, nicht normalisieren. Was macht man also, um eine sinnvolle Lösung zu erhalten?
    Der Schlüssel zur Lösung dieses Problems liegt in folgender Erkenntnis: Kennt man einige Lösungen der Schrödinger-Gleichung, so ist auch jede Linearkombination dieser Lösungen wieder eine Lösung. Mit anderen Worten, man addiert verschiedene Wellenfunktionen, so dass man ein Wellenpaket erhält, das eine Sammlung von Wellenfunktionen der Form e i k  ·  r ist und folgende Bedingungen erfüllt:
    Die Wellenfunktionen interferieren an einem Ort konstruktiv.
    Sie interferieren destruktiv (gehen gegen null) an allen anderen Orten.
    Betrachten Sie die zeitunabhängige Form:

    Allerdings sind bei einem freien Teilchen die Energiezustände nicht in diskrete Bänder unterteilt. Die möglichen Energien sind kontinuierlich, sodass man die Summe als Integral schreibt:

    Was ist φ( k )? Es ist das dreidimensionale Analogon von φ(k), das in Kapitel 3 erläutert wurde; es stellt die Amplitude von jeder Komponente der Wellenfunktion dar. Man kann φ( k ) durch die Fourier-Transformation von(mit x < 0) bestimmen:

    In der Praxis können Sie φ( k ) selber wählen. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Form von φ( k ), die ein Gausssches Wellenpaket beschreibt (Man beachte: der exponentielle Teil ist für die