Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Gauss'sche Wellenform verantwortlich):

    Dabei sind a und A Konstanten. Um A zu bestimmen, kann man zunächst φ( k ) normalisieren. Das geht folgendermaßen:

    Die Lösung des Integrals ergibt:

    Somit folgt für die Wellenfunktion:

    Man kann diese Gleichung entwickeln und erhält dann die Darstellung der zeitunabhängigen Wellenfunktion für ein Gauss'sches Wellenpaket im Dreidimensionalen:

    So sieht es also aus, wenn V( r ) = 0 gilt. Aber können Sie auch solche Aufgaben lösen, wo V( r ) nicht null ist? Natürlich können Sie das. Lesen Sie einfach den nächsten Abschnitt.

Dreidimensionale rechtwinklige Potentiale
    Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit dreidimensionalen Kastenpotentialen; Abbildung 8.2 zeigt die Darstellung eines solchen Potentials. Nun sollen die Wellenfunktionen und die Energieniveaus für diesen Fall bestimmt werden.
    Innerhalb des Kastens soll V(x, y, z) = 0 gelten, außerhalb V(x, y, z) = ∞. Man hat somit folgendes Potential:
    V(x, y, z) = 0, wenn 0 < x < L x , 0 < y < L y , 0 < z < L z
    ∞, sonst
    Teilt man V(x,y,z) in V x (x), V y (y) und V z (z), so erhält man:
    V x (x) = 0, wenn 0 < x < L x
∞, sonst
    V y (y) = 0, wenn 0 < y < L y
∞, sonst
    V z (z) = 0, wenn 0 < z < L z
∞, sonst
     
    Abbildung 8.2 : Ein dreidimensionales Kastenpotential
    Okay, da das Potential an den Wänden des Kastens gegen unendlich geht, muss die Wellenfunktion ψ(x, y, z) an diesen Stellen gegen null gehen; das sind die Randbedingungen. Im Dreidimensionalen sieht die Schrödinger-Gleichung folgendermaßen aus:

    Schreibt man das aus, so erhält man:

    Im Folgenden wird jede Dimension getrennt betrachtet. Da das Potential separierbar ist, kann man ψ(x, y, z) in der Form ψ(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z) schreiben. Innerhalb des Kastens ist das Potential null, und die Schrödinger-Gleichung für x, y und z lautet somit:

    Im nächsten Schritt drückt man diese Gleichungen mithilfe der Wellenzahl k aus. Dagilt, erhält man folgende Gleichungen:

    Zunächst wird die Gleichung für x betrachtet. Sie haben also eine Differentialgleichung zweiter Ordnung zu behandeln:Die beiden unabhängigen Lösungen dieser Gleichung lauten:

    wobei A und B noch zu bestimmen sind.
    Die allgemeine Lösung vonist somit die Summe aus den beiden Gleichungen oben:

    Großartig. Jetzt können Sie die Energieniveaus bestimmen.

Die Energieniveaus bestimmen
    Um die Energieniveaus eines Teilchens in einem Kastenpotential bestimmen zu können, benötigt man einen genauen Wert von X(x), der nicht durch die Konstanten A und B ausgedrückt ist. Man muss die Randbedingungen benutzen, um A und B zu berechnen. Wie lauten diese Randbedingungen? Die Wellenfunktion muss an den Wänden des Kastens verschwinden, also ist:
    X(0) = 0
    X(L x ) = 0
    Da X(0) = 0 ist, muss B gleich 0 sein, da cos(0) = 1. Und weil X(L x ) = 0 ist, ist X(L x ) = A sin(k x L x ) = 0. Da der Sinus 0 ist, wenn sein Argument ein Vielfaches von π ist, bedeutet das:

    Und weilgilt, folgt:

    Das ist die Energie der x-Komponente der Wellenfunktion, entsprechend den Quantenzahlen 1, 2, 3 und so weiter. Die Gesamtenergie eines Teilchens der Masse m innerhalb eines Kastenpotentials ist E = E x + E y + E z . Analog zuergeben sich für E y und E z folgende Ausdrücke:

    Somit folgt für die Gesamtenergie E = E x + E y + E z des Teilchens:

    Damit haben Sie also die Gesamtenergie eines Teilchens in einem Kastenpotential berechnet.

Die Wellenfunktion normalisieren
    Was ist mit der Normalisierung der Wellenfunktion ψ(x, y, z)? In x-Richtung erhält man für die Wellenfunktion:

    Die Wellenfunktion ist somit eine Sinus-Welle, die bei x = 0 und x = L x null wird. Die Wellenfunktion sollte außerdem wie folgt normalisiert sein:

    Indem man die Wellenfunktion normalisiert, kann man die Konstante A berechnen. Setzt man X(x) in dieser Gleichung ein, so erhält man:

    Deshalb folgt ausdie GleichungFolglich gilt für A:

    Jetzt kennt man die Konstante A und kann X(x) hinschreiben:

    Anschließend kann man ψ(x, y, z) berechnen und dazu die Wellenfunktion in drei Teile spalten:

    Analog zu X(x) lässt sich auch Y(y) und Z(z) bestimmen:

    Damit erhält man für ψ(x, y, z):

    mit
    Das ist eine besonders lange Wellenfunktion. Wenn man mit einem Kastenpotential rechnet, gilt für die Energie:

Würfelförmiges Potential
    Ein besonders einfaches ist ein würfelförmiges. Das bedeutet L = L x = L y = L z . In diesem Fall erhält man folgende Gleichung für die Energie:

    mit
    Für den