Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

durch:

    Somit lauten die niedrigsten sphärischen Neumann-Funktionen:

Näherungen für große und kleine ρ
    Mithilfe der sphärischen Bessel-Funktionen sieht der radiale Teil der Wellenfunktion für ein freies Teilchen wie folgt aus:

    Betrachtet man nun die sphärischen Bessel- und Neumann-Funktionen für große und kleine ρ, so ergibt sich Folgendes:
    Kleine ρ : Die Bessel-Funktion verhält sich wie
Die Neumann-Funktion verhält sich wie
    Große ρ : Die Bessel-Funktion verhält sich wie
Die Neumann-Funktion verhält sich wie
    Man beachte, dass die Neumann-Funktionen für kleine ρ divergieren. Folglich divergiert jede Wellenfunktion, die Neumann-Funktionen enthält, was unphysikalisch ist. Deshalb sind die Neumann-Funktionen keine akzeptablen Funktionen für die Wellenfunktion.
    Die Wellenfunktion, die gleichist, lautet somit:

    wobei. Da k jeden Wert annehmen kann, sind die Energieniveaus folglich kontinuierlich.

Das sphärisch symmetrische Kastenpotential
    In diesem Abschnitt wird das sphärisch symmetrische Kastenpotential behandelt. Abbildung 9.2 zeigt eine Darstellung des Potentials, das sich mathematisch folgendermaßen beschreiben lässt:

    Da es sich bei diesem Potential um ein Zentralpotential handelt, kann man an dieser Stelle auf die Ergebnisse zurückgreifen, die im Abschnitt »Zentralpotentiale im Dreidimensionalen« hergeleitet wurden. Das bedeutet, man kann die Wellenfunktion in einen winkelabhängigen und einen Radialteil aufspalten. Da die Ergebnisse für den winkelabhängigen Anteil bereits bekannt sind (siehe den Abschnitt »Der winkelabhängige Teil der Wellenfunktion ψ(r, θ, φ)«), müssen Sie im folgenden nur noch die Schrödinger-Gleichung für die Radialkomponente der Wellenfunktion untersuchen. Diese lauten folgendermaßen:

    In den beiden folgenden Abschnitten wird die Schrödinger-Gleichung für die beiden Fälle 0 < r < a und r > a getrennt untersucht.

Innerhalb des Potentialtopfes: 0 < r < a
    In dem Bereich, der zuerst betrachtet wird, gilt V(r) = –V 0 . Somit lautet die Schrödinger-Gleichung wie folgt:

    Bringt man den Term V 0 auf die rechte Seite, so erhält man:

    Teilt man durch r, erhält man:

    Multipliziert man mit, so folgt:

    An dieser Stelle wechselt man die Variable: ρ = kr, wobeisodass R nl (r) zu R l (kr) = R l (ρ) wird. Somit erhält man:

    Das ist die sphärische Bessel-Gleichung. Diesmal istund nichtDas ist auch sinnvoll; da das Teilchen hier im Potentialtopf gefangen ist, beträgt seine Energie E + V 0 und nicht nur E.
    Die Lösung der obigen Gleichung ist eine Kombination aus den sphärischen Bessel-Funktionen j l (ρ) und den sphärischen Neumann-Funktionen n l (ρ):

    In diesem Fall unterliegt man der gleichen Beschränkung wie bei einem freien Teilchen: Die Wellenfunktion muss überall endlich sein. Geht ρ → 0, so gilt für die Bessel-Funktion folgende Näherung:

    Für die Neumann-Funktion gilt für kleine ρ folgende Näherung:

    Da die Neumann-Funktion divergiert, ist sie in diesem Fall für die Wellenfunktionen ungeeignet. Das bedeutet, dass der radiale Teil der Wellenfunktion nur aus den sphärischen Bessel-Funktionen besteht, wobei A l eine Konstante ist:

    Die gesamte Wellenfunktion innerhalb des Potentialtopfes ψ in (r, θ, φ) ist ein Produkt aus dem radialen und dem winkelabhängigen Teil:

    wobeiund Y lm (θ, φ) die Kugelfunktionen sind.

Außerhalb des Potentialtopfes: r > a
    Außerhalb des Potentialtopfes, also im Bereich r > a, verhält sich das Teilchen wie ein freies Teilchen. Somit lautet die Radialgleichung:

    Diese Gleichung wurde bereits im Abschnitt »Freie Teilchen im Dreidimensionalen in Kugelkoordinaten« gelöst: Man setzt ρ = kr ein, wobeiist, sodass R nl (r) zu R l (kr) = R l (ρ) wird. Durch diese Substitution ergibt sich für die Radialgleichung die folgende Form:

    Die Lösung der Gleichung ist eine Kombination aus den sphärischen Bessel- und Neumann-Funktionen, wobei B l eine Konstante ist:

    Die Lösung der Radialgleichung außerhalb des Potentialtopfes lautet somit wie folgt:

    wobeiist.
    Aus dem vorangegangenen Abschnitt kennen Sie die Lösung der Wellenfunktion innerhalb des Potentialtopfes:

    Wie bestimmt man nun die Konstanten A l und B l ? Man bestimmt sie mithilfe der Stetigkeitsbedingungen: An der Grenze zwischen innen und außen, also bei r = a, müssen sowohl die Wellenfunktion als auch ihre erste Ableitung stetig sein. Um A l und B l zu bestimmen, muss man die beiden folgenden Gleichungen