Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Grundzustand gilt n x = n y = n z = 1; die Energie des Grundzustands E 111 ist demzufolge:

    Man beachte, dass die Energie bei dieser Form des Potentials entartet ist. Betrachten Sie beispielsweise folgende Energien:

    Demzufolge ist E 211 = E 121 = E 112 , was bedeutet, dass der erste angeregte Zustand dreifach entartet ist – entsprechend den drei Dimensionen.
    Im Allgemeinen gilt: Weist ein physikalisches Problem eine Symmetrie auf (wie es beim Würfel der Fall ist), so liegt Entartung vor.
    Die Wellenfunktion für ein würfelförmiges Potential ist somit leichter zu handhaben als die Wellenfunktion für ein beliebiges Kastenpotential (bei dem die Seiten unterschiedlich lang sind). Die Wellenfunktion für ein würfelförmiges Potential lautet:

    mit
    Die Wellenfunktion ψ 111 (x, y, z) für den Grundzustand (n x = n y = n z = 1) lautet beispielsweise:

    Für ψ 211 (x, y, z) gilt:

    Und für ψ 121 (x, y, z):

Der dreidimensionale harmonische Oszillator
    Abbildung 8.3 zeigt einen eindimensionalen harmonischen Oszillator (der in Kapitel 4 ausführlich besprochen wurde), wobei eine Rückstellkraft auf das Teilchen wirkt, hier dargestellt durch eine Feder.
     
    Abbildung 8.3 : Ein harmonischer Oszillator
    In einer Dimension wird die rücktreibende Kraft durch F x = –k x x beschrieben, wobei k x die Proportionalität zwischen der auf das Teilchen wirkenden Kraft und der Auslenkung beschreibt. Die potentielle Energie des Teilchens ist eine Funktion des Ortes: V(x) = 1 / 2  k x x 2 . Das kann man auch folgendermaßen ausdrücken:

    wobeigilt.
    In diesem Abschnitt wird der harmonische Oszillator in drei Dimensionen betrachtet. Das Potential lautet in diesem Fall wie folgt:

    mit
    Da man das Potential kennt, kann man die Schrödinger-Gleichung betrachten:

    Setzt man das Potential V(x, y, z) ein, so erhält man folgende Gleichung:

    Das kann man Dimension für Dimension lösen. Da man das Potential aufspalten kann, kann man ψ(x, y, z) alsschreiben. Deshalb lautet die Schrödinger-Gleichung für x:

    Sie haben diese Gleichung bereits in Kapitel 4 gelöst und dabei folgende Lösung erhalten:

    Dabei istund n x  = 1, 2, 3 und so weiter. H n bezeichnet die Hermite'schen Polynome, die folgendermaßen lauten:
    H 0 (x) = 1
    H 1 (x) = 2x
    H 2 (x) = 4x 2 – 2
    H 3 (x) = 8x 3 – 12x
    H 4 (x) = 16x 4 – 48x 2 + 12
    H 5 (x) = 32x 5 – 160x 3 + 120x
    Somit lässt sich die Wellenfunktion in folgender Form schreiben:

    Das ist eine relativ einfache Darstellung einer Wellenfunktion; sie ist nur möglich, weil man das Potential für die drei Dimensionen getrennt betrachten kann.
    Wie sieht nun die Energie des harmonischen Oszillators aus? Die Energie eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist durchgegeben. Entsprechend ergibt sich die Energie des dreidimensionalen harmonischen Oszillators:

    Betrachtet man einen isotropen harmonischen Oszillator, für den ω x = ω y = ω z = ω gilt, so erhält man für die Energie:

    Genau wie beim quadratischen Potential ist die Energie eines dreidimensionalen iso- tropen harmonischen Oszillators entartet. Beispielsweise ist E 112  = E 121  = E 211 . Es ist sogar möglich, dass er mehr als dreifach entartet ist – zum Beispiel ist E 200 = E 020 = E 002 = E 110 = E 101 = E 011 .
    Im Allgemeinen gilt für die Entartung eines dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators:
    Entartung
    Dabei ist n = n x +n y + n z .

Das wichtigste von Kapitel 8 noch einmal in Kürze
    Zu Beginn dieses Kapitels wurde erläutert, wie man die dreidimensionale Schrödinger-Gleichung in kartesischen Koordinaten in drei eindimensionale Schrödinger-Gleichungen umwandeln kann. Im Anschluss daran wurde anhand einfacher Beispiele gezeigt, dass sich das Energiespektrum und die Wellenfunktion in diesem Fall auf dieselbe Art und Weise bestimmen lassen wie bei den eindimensionalen Beispielen in den Kapiteln 4 und 5. Die Ergebnisse lassen sich folgendermaßen zusammenfassen:
    Die zeitunabhängige Wellenfunktion für ein Gausssches Wellenpaket lautet:
    Die Wellenfunktion für ein dreidimensionales Kastenpotential mit den Abmessungen L x , L y und L z lautet:

mit
    Die Wellenfunktion für ein würfelförmiges Potential vereinfacht sich zu:

mit
    Die Wellenfunktion für den eindimensionalen harmonischen Oszillator lässt sich dementsprechend auf drei Dimensionen ausdehnen. Die Darstellung enthält ebenso wie im eindimensionalen Raum die aus Kapitel 5 bekannten Hermiteschen Polynome.
    Für die Gesamtenergie E