Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Teil.
    Das ist eine besondere Eigenschaft von Problemen mit Zentralpotentialen.

Der winkelabhängige Teil von ψ (r, θ , φ )
    Wenn Sie den winkelabhängigen Teil der Wellenfunktion betrachten, erkennen Sie, dass Sie sich nicht lange mit ihm beschäftigen müssen. Dieser Teil muss eine Eigenfunktion von L 2 sein; diese wurden bereits in Kapitel 6 in dem Abschnitt ,,Die Eigenfunktionen von L 2 in Kugelkoordinaten“ bestimmt. Bei den Eigenfunktionen handelt es sich um die Ihnen bereits bekannten Kugelfunktionen Y lm (θ,φ). (Dabei ist l die Quantenzahl des Drehimpulses und m die seiner z-Komponente.) Die Kugelfunktionen lauten:

    Die ersten normalisierten Kugelfunktionen lauten:

    So sieht also der winkelabhängige Teil der Wellenfunktion aus: eine Kugelfunktion.

Der radiale Teil von ψ (r, θ, φ )
    Man kann den radialen Teil der Wellenfunktion mit R nl (r) bezeichnen, wobei n eine Quantenzahl ist, die dem Quantenzustand des radialen Teils entspricht, und l die Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses. Der radiale Teil ist hinsichtlich der Winkel symmetrisch, somit kann er nicht von der Quantenzahl m der z-Komponente des Drehimpulses abhängen. Die Wellenfunktion für Teilchen in einem Zentralpotential hat also in Kugelkoordinaten folgendes Aussehen:

    Im nächsten Schritt soll die allgemeine Lösung für R nl (r) bestimmt werden. Setzt man die obige Gleichung in die Schrödinger-Gleichungein, so erhält man:

    Wie in Kapitel 6 bereits gezeigt wurde, gilt für die Kugelfunktionen Y lm (θ, φ) folgende Gleichung:

    Daraus folgt, dass man den letzten Term in der obigen Gleichung durchersetzen kann. Demzufolge nimmt die obige Gleichung folgende Form an:

    Auf diese Weise erhält man die Radialgleichung für ein Zentralpotential. Sie lautet:

    Diese Gleichung benutzt man, um R nl (r) zu bestimmen, den radialen Teil der Wellenfunktion. Sie heißt Radialgleichung für ein Zentralpotential.
    Damit ist das Problem des Zentralpotentials auf ein eindimensionales Problem zurückgeführt. Die Radialgleichung ist eine eindimensionale Schrödinger-Gleichung mit folgendem effektiven Potential :

    Wenn Sie die Radialgleichung lösen, können Sie auch ψ(r, θ, φ) berechnen, da Sie die Kugelfunktionen Y lm (θ, φ) kennen:

    Somit reduziert sich dieses Kapitel darauf, eine Lösung für die Radialgleichung zu finden.
    Man beachte: Die Radialgleichung ist wirklich eine Differentialgleichung in nur einer Dimension, der r-Richtung. Wenn man also Aufgaben betrachtet, die ein Zentralpotential beinhalten, reduziert sich das allgemeine Problem, die Wellenfunktion eines in einem dreidimensionalen Kugelpotential eingeschlossenen Teilchens zu berechnen, auf eine eindimensionale Differentialgleichung.

Freie Teilchen im Dreidimensionalen in Kugelkoordinaten
    Um zu zeigen, wie sich die Radialgleichung lösen lässt (im vorangegangenen Abschnitt wurde die Radialgleichung erläutert), werden in den nächsten beiden Abschnitten verschiedene Zentralpotentiale behandelt. Zuerst betrachten wir freie Teilchen, die in kein Potential eingeschlossen sind.
    Die Wellenfunktion hat in Kugelkoordinaten die folgende Form:

    Über Y lm (θ, φ) wissen Sie Bescheid, denn das sind die Kugelfunktionen. Das Problem besteht nun darin, die Gleichung für den Radialteil R nl (r) zu lösen. Die Radialgleichung lautet:

    Für ein freies Teilchen gilt V(r) = 0, damit folgt für die Radialgleichung:

    Um mit dieser Gleichung weiterzuarbeiten, ersetzt man gewöhnlich kr durch ρ, wobeiist, sodass R nl (r) zu R l (kr) = R l (ρ) wird. Das bedeutet, dass

    folgende Form erhält:

    Sie werden jetzt sicher nicht überrascht sein, wenn Sie erfahren, dass sich auch diese Gleichung im Rahmen der mathematischen Physik elementar lösen lässt. Das bedeutet, dass Sie im folgenden Abschnitt zwei weitere Arten von Funktionen kennen lernen werden, die sphärischen Bessel-Funktionen und die sphärischen Neumann-Funktionen.

Die sphärischen Bessel- und Neumann-Funktionen
    Die Gleichungsieht sehr kompliziert aus, doch ist ihre Lösung wohlbekannt. Diese Gleichung heißt sphärische Bessel-Gleichung , und ihre Lösung ist eine Kombination aus den sphärischen Bessel-Funktionen j l (ρ) und den sphärischen Neumann-Funktionen n l (ρ):

    Wie lauten nun die sphärischen Bessel-Funktionen und die sphärischen Neumann-Funktionen? Die sphärischen Bessel-Funktionen sind gegeben durch:

    Die niedrigsten sphärischen Bessel-Funktionen sind:

    Und die sphärischen Neumann-Funktionen sind gegeben