Das lebendige Theorem (German Edition)

hochangesehenen Zeitschriften besser als er. Ich bin selbst Herausgeber bei der konkurrierenden Zeitschrift Inventiones Mathematicae , und ich weiß, wie unbarmherzig ich sein muss, um die Manuskripte zu beurteilen, die mir eingereicht werden. Die Herausgeber von Acta sind noch dickhäutiger, nichts kann sie rühren, außer wenn man beweist, dass ein Gutachter böswillig ist (aber dafür gibt es keinen Hinweis), oder wenn man ihnen neue, zusätzliche Teile unterbreitet.
    Eine Möglichkeit wäre, diesen riesigen Aufsatz in zwei aufzuteilen, um ihn leichter veröffentlichen zu können, aber diese Praxis widersteht mir … Daher lassen wir es im Moment einfach sein.
    Meine Vorträge in Ann Arbor laufen gut, aber immer wieder gibt es dieselben Fragen. Ich habe mit Jeff Rauch gesprochen, Experte für partielle Differentialgleichungen, der lange mit Franzosen zusammengearbeitet hat. Jeff war zwar nicht schockiert von der Tatsache, dass das Ergebnis nicht für unendliche Zeiten gilt, aber die Analytizitätshypothese gefiel ihm nicht. Gewiss würden andere vielmehr eine unendliche Zeit bevorzugen und sich wenig um die Analytizität sorgen, so dass ich mir sagen könnte, dass das nicht weiter schlimm ist; aber ich vertraue auf Jeffs Urteil, und seine Kritik beunruhigt mich. Deshalb bringe ich heute Abend eine Überlegung zu Papier, die ihm zeigen soll, dass unser Beweis fast vollkommen ist und dass man ihn kaum noch verbessern kann. Diese Arbeit mache ich mir übrigens ebenso für mich wie für ihn.

Jeff Rauch
    Die Zeit vergeht, auf meinem Hotelbett sitzend kritzle und kritzle ich, aber es gelingt mir nicht, mich zu überzeugen … Und wenn ich mich selbst nicht überzeugen kann, besteht nur eine geringe Chance, dass es mir gelingt, Jeff zu überzeugen!!
    – Und wenn ich auf dem Holzweg wäre, wenn meine Schätzungen zu grob wären? Doch hier habe ich nichts verloren … dort müsste es mit dem Teufel zugehen, wenn ich etwas verhauen hätte … hier ist es optimal … dort kann meine Vereinfachung nur zur Verbesserung dienen, es sei denn es handelte sich um Hexerei …
    Wie ein Radfahrer, der seine Fahrradkette auf der Suche nach der geringsten Schwachstelle untersucht, gehe ich den Beweis durch und überprüfe die Genauigkeit der Argumente bei jedem Schritt.
    Und dort!?!?!
    Dort! An dieser Stelle war ich vielleicht zu nachlässig!
    Aber wie kann das sein?
    – Was bedeutet das, um Himmels willen? Ich habe nicht gesehen, dass die Moden sich voneinander entfernten, und meine Abschätzung über die Summe ist zu grob? Wenn das das Sup über die Summe ist, natürlich werde ich hier etwas verlieren!! Nun gut, das war in der technischen Komplexität untergegangen …
    Ich brumme vor mich hin und gehe in Gedanken die Sache erneut durch.
    – Aber ja doch … die Moden entfernen sich voneinander, und die Gewichtung verschiebt sich, wenn ich sie global betrachte, verliere ich etwas Gewaltiges!! Aber dann muss man sie getrennt kontrollieren!!!
    Das ist die Erleuchtung, hier mit meinem Bleistift auf dem Bett. Ich stehe auf und gehe fieberhaft im Zimmer umher, den Entwurf in der Hand, den Blick auf die unverständlichen Formeln geheftet. Das Schicksal des Aufsatzes kippt gerade wieder einmal. Dieses Mal geht es nicht darum, einen Fehler auszubügeln, sondern die Ergebnisse zu verbessern.
    – Wie werten wir das aus?
    Ich weiß nicht, aber es ist geschehen, wir werden alles aufrollen. Wir haben endlich eine Möglichkeit gefunden, um auf die beiden immer wiederkehrenden Einwände zu antworten.
    *
    Since γ = 1 is the most interesting case, it is tempting to believe that we stumbled on some deep difficulty. But this is a trap: a much more precise estimate can be obtained by separating modes and estimating them one by one, rather than seeking for an estimate on the whole norm. Namely, if we set

    then we have a system of the form

    Let us assume that . First we simplify the time-dependence by letting

    Then (7.15) becomes

    (The exponential for the last term is right because ( k + 1 ) ( kt/ ( k + 1 )) = kt. ) Now if we get a subexponential estimate on Φ k ( t ) , this will imply an exponential decay for φ k ( t ).
    Once again, we look for a power series, assuming that A k is constant in time, decaying like e –ak as k → ∞ ; so we make the ansatz , with . As an exercise, the reader can work out the doubly recurrent estimate on the coefficients a k,m and deduce

    whence

    This is subexponential even for = 1 : in fact, we have