Der Geek-Atlas (German Edition)

Zahlen, sondern fußen auf der Arbeit mit einer
     imaginären Zahl, i. Wenn Sie eine Zahl quadrieren (für die 2 erhalten Sie 4, für die 3 die 9 usw.), dann liefert die Quadratwurzel
     wieder die Ausgangszahl – die Quadratwurzel von 4 ist 2, die Quadratwurzel von 9 ist 3.
    Was ist aber mit der Quadratwurzel von –1? Es gibt keine reelle Zahl, die zum Quadrat –1 ergibt. Um dieses Problem zu umgehen,
     haben sich Mathematiker einfach eine Zahl ausgedacht (darum nennt man sie imaginäre Einheit) und ihr den Namen i gegeben.
     Die Quadratwurzel von –1 ist i, d.h. man kann folgendes schreiben: i 2 = –1. Augenscheinlich taucht i auf der Zahlengerade reeller Zahlen nicht auf. Um dieses Problem zu lösen, definieren Mathematiker
     eine Zahlengerade für imaginäre Zahlen, die rechtwinklig zur Zahlengerade der reellen Zahlen liegt. Diese beiden Geraden bilden
     die komplexe Zahlenebene ( Abbildung 25.3 ) und sehen aus wie die Achsen, die Sie aus Diagrammen kennen.
    Komplexe Zahlen sind die Zahlen, die in dieser Ebene liegen. Wenn Sie einen Punkt um eine Strecke a entlang der Geraden für
     reelle Zahlen (der X-Achse) verschieben, und um eine Strecke b entlang der Geraden für komplexe Zahlen (der Y-Achse), dann
     haben Sie die komplexe Zahl gefunden, die durch a + bi geschrieben wird (wobei a und b beide reelle Zahlen sind). Mit der
     komplexen Zahl können Sie nun die Quadratwurzel jeder Zahl bestimmen (die Quadratwurzel von –13 beispielsweise ist 3,61i).
     Obwohl i als reelle Zahl nicht existiert, stellt sie ein nützliches abstraktes Konstrukt dar, das für mathematisches Denken
     typisch ist – mit ihrer Einführung wird das Problem beseitigt, keine Quadratwurzeln negativer Zahlen ziehen zu können.
    Abbildung 25.3 Komplexe Zahlenebene
    Komplexe Zahlen unterliegen den gleichen Regeln wie reelle Zahlen: Addition und Multiplikation sind kommutativ (d.h. es spielt
     keine Rolle, in welcher Reihenfolge Sie rechnen – zum Beispiel 2 × 3 = 3 × 2); Addition und Multiplikation sind assoziativ
     (d.h. wenn mehrere Zahlen addiert oder multipliziert werden müssen, dann spielt es keine Rolle, mit welchem Paar Sie beginnen
     – bei der Berechnung von 2 × 3 × 4, können Sie beispielsweise 2 × 3 zuerst ausrechnen, oder 3 × 4) und die Multiplikation
     ist distributiv (d.h. man kann bei einer Berechnung entsprechend »ausmultiplizieren« – zum Beispiel 2 × (3 + 4) = (2 × 3)
     + (2 × 4). Alles was den gleichen Regeln folgt wie reelle Zahlen, bezeichnen Mathematiker als Körper.
    Weil komplexe Zahlen Körper sind, können auch für andere Körper verwendete Sätze direkt auf sie angewandt werden. Sobald Sie
     wissen, dass es sich um einen Körper handelt, wird eine ganze Masse an Mathematik anwendbar. Aus diesem Grund sind komplexe
     Zahlen bei einer Vielzahl praktischer Disziplinen wie Elektrotechnik und Fluiddynamik nützlich. Sie bilden auch den Kern der
     wunderschönen mathematischen Fraktale. Bei Fraktalen handelt es sich um mathematische Formen, die man immer weiter vergrößern
     kann, ohne auf eine gerade Linie zu stoßen. Sie werden auch als Mandelbrotmenge bezeichnet ( Abbildung 25.4 ).
    Abbildung 25.4 Mandelbrotmenge
    Hamiltons Quaternionen sind eine Erweiterung komplexer Zahlen. Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Teilen, d.h. die Zahl a
     + bi besteht aus einem reellen Teil a und einem imaginären Teil bi. Ein Quaternion besteht aus vier Teilen, die man a + bi
     + cj + dk schreibt, wobei a, b, c und d reelle Zahlen sind und i, j, k imaginäre Zahlen. Um ein Quaterion grafisch darzustellen,
     benötigen Sie vier Zahlengeraden. Dadurch ergibt sich ein vierdimensionales Bild analog zur komplexen Zahlenebene.
    Hamilton erarbeitete die Regeln für die Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division dieser Quaternionen. Seine Eingebung
     auf der Broom Bridge war die, dass die Regel für die Multiplikation von Quaternionen nicht der einfachen Multiplikation reeller
     (oder auch komplexer) Zahlen entspricht, d.h. bei zwei Quaternionen q0 und q1 gilt q0 × q1 = q1 × q0 nicht. Dies bedeutet,
     dass die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ ist.
    Die Arbeit mit nicht kommutativen Zahlen (den Quaternionen) revolutionierte die Mathematik. Zwar wurden Quaternionen selbst
     durch andere mathematische Ideen (wie Vektoren und Matrizen) abgelöst, aber man findet sie immer noch in der Computergrafik.
     Quaternionen bieten eine sehr schnelle Möglichkeit zur Berechnung der Rotation eines Objekts auf