Der Geek-Atlas (German Edition)

angeordnet und durch einen Querstrich
     getrennt ( Abbildung 57.1 ).
    Abbildung 57.1 Napiersche Rechenstäbchen
    Die Multiplikation erfolgt, indem man die Stäbchen dem Multiplikanten entsprechend auf dem Brett platziert und dann die korrekte
     Antwort für jede Ziffer des anderen Multiplikanten abliest. Durch die geneigte Anordnung sind das Aufaddieren und die Übertragsberechnung
     einfach ( Abbildung 57.2 ).
    Abbildung 57.2 Multiplikation einer einzelnen Ziffer (7 × 46,785,399)
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    Napiers Logarithmen
    Als die Logarithmen erfunden waren, wurden sie schnell populär: Durch sie wurden Multiplikation und Division in eine einfachen
     Addition bzw. Subtraktion umgewandelt, und die Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln war mittels einer einfachen Multiplikation
     möglich. Doch um diese Berechnungen durchführen zu können, benötigte man eine Tabelle mit vorausberechneten Logarithmen. John
     Napier machte sich daran, den Logarithmus zu definieren und ein Buch mit Tabellen zu veröffentlichen: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio .
    Da Napier nicht die heute vorhandene mathematische Terminologie besaß (schließlich war er es erst, der dabei half, den Dezimalpunkt
     einzuführen), konstruierte er seine Logarithmen geometrisch. Stellen Sie sich zwei Geraden vor, die Markierungen im gleichen
     Abstand enthalten, wie sie in Abbildung 57.3 zu sehen sind. Beide sind Zahlengeraden – die obere ist arithmetisch angeordnet (die Zahl an der Markierung ist um eins höher
     als bei der vorherigen Markierung) und die untere weist eine geometrische Ordnung auf (in diesem Fall verdoppeln sich die
     Zahlen bei jeder Markierung).
    Abbildung 57.3 Arithmetische und geometrische Zahlengeraden
    Napier setzte den Begriff Logarithmus aus den griechischen Wörtern logos (»Verständnis, Lehre«) und arithmos (»Zahl«) zusammen. Der Logarithmus einer Zahl der geometrischen Geraden entspricht einfach der Zahl auf der arithmetischen
     Geraden. Der Logarithmus von 4 ist also beispielsweise 2. Der Logarithmus von 33 liegt kurz hinter dem Logarithmus von 32
     (der 5 lautet). Bei ganz genauer Messung würden Sie sehen, dass er bei ungefähr 5,04 liegt.
    In der moderner Notation werden die Zahlengeraden aus Abbildung 57.3 durch Potenzierung dargestellt. Ist x eine Zahl der arithmetischen Gerade, dann liegt die dazugehörige Zahl y auf der geometrischen
     Gerade bei y = 2 x , und für den Logarithmus sagt man x ist der Logarithmus von y, was man mit x = log 2 y ausdrückt.
    Der Index 2 ist wichtig. Er wird als Basis bezeichnet. Die Zahlengerade in Abbildung 57.4 repräsentiert Logarithmen zur Basis 2. Die Basis ist nur der Faktor, der zur Potenzierung verwendet wird. Ein etwas allgemeinerer
     Logarithmus zur Basis b ist daher als x = log b y definiert, wobei y = b x ist.
    Logarithmen werden üblicherweise zur Basis 2, e, oder 10 definiert. log 2 wird in der Informatik wegen seiner Beziehung zum Binärsystem genutzt. log e , der sogenannte natürliche Logarithmus (mit der Basis e), wird häufig ln geschrieben. Er taucht bei der Differenzial- und
     Integralrechnung auf, weil er der Fläche unter der Kurve 1/x (siehe Gleichung 57.1 ) entspricht.
    Gleichung 57.1. Natürlicher Logarithmus
    log 10 kommt ausgiebig im Ingenieurwesen zum Einsatz. Dieser Logarithmus wird bei den meisten Rechenschiebern verwendet.
    Napiers Logarithmus nutzte keine dieser Basen. Er konstruierte ihn geometrisch mit zwei Zahlengeraden, ähnlich wie die in Abbildung 57.3 dargestellten. Doch die geometrische Gerade skalierte nicht in gleicher Weise exponentiell. Tatsächlich berechnete Napier
     Logarithmen des Sinus von Winkeln eines Kreises mit einem Radius von 10000000 (er wählte diese große Zahl, damit er eine hohe
     Genauigkeit erzielen konnte).
    Nach modernen Vorstellungen hatte sein Logarithmus die Basis 1/e. Die eigentliche Bedeutung seiner Definition lag aber darin,
     dass sie zur Vereinfachung der Multiplikation, Division und zum Wurzelziehen genutzt werden konnte.
    Nachdem er seinen Logarithmus definiert hatte, veröffentlichte er 1614 in seinem Buch Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio eine Erläuterung des Logarithmus und eine entsprechende Tabelle mit Logarithmen (die auf fünf Dezimalstellen genau war).
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    Eine lange Multiplikation erfolgt, indem man die Werte für jede Ziffer berechnet und diese dann zusammenaddiert (siehe Abbildung 57.4 ).
    Abbildung 57.4 Lange Multiplikation (96,431 × 46,785,399)
    Weil man Napiersche Stäbchen leicht