Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

Währungsreformen vernichteten sie.
    Wenn Zahlen ins Unvorstellbare anwachsen, werden sie auch für die Wirtschaft unzähmbar.

Donald Knuths Zahlenmonster
    Mit der Erfindung der Potenzen steht der Mathematik ein Mittel zur Verfügung, Zahlen zu benennen, die selbst mit Multiplikationen, von Additionen ganz zu schweigen, kaum erreichbar sind. Denn man kann ja Potenzen noch einmal potenzieren und einen sogenannten „Potenzturm“ bilden, so zum Beispiel
    .
    Allerdings ist hier darauf zu achten, dass es zwei Lesarten für diesen Potenzturm gibt. Eine Lesart besteht darin, dass man zuerst 5 4 berechnet, dies ist die Zahl 625, und dann von dieser die dritte Potenz, also 625 3  = 244 140 625. In diesem Fall hat man den Potenzturm als

    gelesen. Eine andere Lesart wäre, dass man zuerst 4 3 berechnet, dies ist die Zahl 64, und dann 5 zu dieser Potenz erhebt, also 5 64 ermittelt: Das ist ein Zahlenriese, der mit 5421 … beginnt und aus 45 Stellen besteht. In diesem Fall hat man den Potenzturm als

    gelesen. Schreibt man einen Potenzturm ohne Klammern, einigt man sich darauf, immer die zweite der beiden genannten Lesarten zu meinen. Mit anderen Worten: Man „arbeitet“ den Potenzturm von rechts oben nach links unten „ab“. Diese Vereinbarung trifft man nicht nur deshalb, weil diese Lesart im Allgemeinen zu den viel größeren Zahlen führt, sondern vor allem darum, weil die andere Lesart den Potenzturm als solchen eigentlich gar nicht benötigt. Denn es ist zum Beispiel
    5
4
 × 5
4
 × 5
4
 = 5
4 + 4 + 4
 = 5
4 × 3
,
    getreudem Merkspruch aus der Schule: „Potenzen werden potenziert, indem man ihre Hochzahlen multipliziert.“
    Die größte Zahl, die man bloß mit Hilfe von drei Ziffern schreiben kann, lautet demnach
    .
    Es ist der aus drei Neunern bestehende Potenzturm. Dieser Zahlenriese beginnt mit 4281 … und hat 369 693 100 Stellen.
    Der an der Stanford University lehrende Informatiker Donald E. Knuth ersetzte die von Bradwardine erfundene Potenzschreibweise durch eine neue Symbolik, die der einfachen Schrift, mit der Computer programmiert werden, besser angepasst ist: Statt 3 2 schrieb Knuth 3
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2. Der senkrechte Pfeil ersetzt gleichsam den Befehl, die nachkommende Zahl als Hochzahl zu schreiben. Damit, so entdeckte Knuth, kann man auch Potenztürme abkürzen: Es soll 3
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↑
2 einen Potenzturm beschreiben, der aus zwei aufeinandergetürmten Zahlen 3 besteht. Das bedeutet: 3
↑
↑
2 = 3
↑
3 = 3 3  = 27. Hier merkt man es noch nicht, aber dieser Doppelpfeil hat es in sich! Denn 3
↑
↑
3 ist bereits der Potenzturm, der aus drei aufeinandergetürmten Zahlen 3 besteht, also
    3
↑

↑
3 = 3
↑
3
↑
3 = = 3
27
 = 7 625 597 484 987,
    und 3
↑
↑
4 ist der Potenzturm, der aus vier aufeinandergetürmten Zahlen 3 besteht, also
    3
↑↑
4 = 3
↑
3
↑
3
↑
3 =  = 3
7 625 597 484 987
.
    Dieser Zahlenriese beginnt mit 1258 … und hat 3 638 334 640 025 Stellen, ist also noch größer als der aus drei Neunern bestehende Potenzturm, den Knuth mit 9
↑
↑
3 abkürzte.
    Knuth baute seine Bezeichnung um einen weiteren Schritt aus: Setzte er zwischen zwei Zahlen einen Dreifachpfeil, so teilte die rechts vom Dreifachpfeil stehende Zahl mit, wie oft die links vom Dreifachpfeil stehende Zahl aufgeschrieben und dazwischen ein Doppelpfeil gesetzt wurde. Ausgewertet werden diese eigenartigen Objekte genauso wie die Potenztürme immer von rechts nach links. Es ist zum Beispiel 3
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↑
↑
2 die Abkürzung von 3
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↑
3. Das ist die noch locker fassbare Zahl 7 625 597 484 987. Hingegen ist
    3
↑

↑

↑
3 = 3
↑

↑
3
↑

↑
3 =
 3
↑

↑
7 625 597 484 987.
    Bei dieser Zahl handelt es sich um einen Potenzturm, bei dem über der Basis 3 sage und schreibe 7 625 597 484 986 Ziffern 3 übereinandergetürmt sind. Und von der obersten Spitze bis nach unten ist dieser Potenzturm „abzuarbeiten“.
    Die Zahl 3
↑
↑
↑
3 ist so groß, dass nicht die geringste Chance besteht, auch nur annäherungsweise zu beschreiben, aus wie vielen Stellen sie besteht, gar mit welchen Ziffern sie beginnt. 10

Geheimnisvolle Zahlen
4 294 967 297
    Mehr als viereinviertel Milliarden. Auch unter dem Eindruck von Knuths Zahlenmonstern noch eine scheinbar mächtige Zahl. Groß sicher, wenn man sie mit dem Eurozeichen versieht. Es gibt nicht viele Menschen, die über mehr als vier Milliarden Euro Privatkapital verfügen. Finanzminister hingegen reden täglich über solche Summen. Wobei