Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

die in der Liste genannten geben. Nebenbei bemerkt: Tatsächlich kommen die Primzahlen 59 und 509 in der genannten Liste nicht vor, und es ist 30 031 = 59  ×  509.
    Eratosthenes gelang es, systematisch eine Liste der Primzahlen zwischen 2 und 100 zu erstellen. Sie lauten
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
    und scheinen gesetzlos aufeinanderzufolgen. So als ob es keine Regelmäßigkeiten gibt. Eratosthenes wusste auch, wie man seine Systematik ausbauen konnte und zum Beispiel alle Primzahlen zwischen 1 und 1000 gewinnt. Aber das Argument des Euklid besagt, dass keine Liste alle Primzahlen aufzählen kann. Keine endliche Liste von Primzahlen ist vollständig.
    Das eigenartig sporadische Auftreten der Primzahlen setzt sich fort: So klafft zwischen den aufeinanderfolgenden Primzahlen 19 609 und 19 661 eine ziemlich große Lücke. Die Primzahlen 19 697 und 19 699 hingegen unterscheiden sich nur um die Differenz zwei. Ein einfaches Gesetz, das die Folge der Primzahlen beschreibt, scheint nicht zu existieren.
    Insbesondere wissen wir noch immer nicht, ob 4 294 967 297 eine Primzahl ist oder nicht …

Die Sucht nach Primzahlen
    Im Frankreich zur Zeit Richelieus, zu einer Zeit, als die Adeligen und reichen Bürger genügend Zeit für scheinbar nutzlose Beschäftigungen hatten, dilettierten im besten Sinne des Wortes einige von ihnen über Primzahlen. Zu ihnen zählten der am Cours de Monnaies tätige Finanzbeamte Bernard Frénicle de Bessy, der gebildete Paulanermönch Marin Mersenne und der Rechtsanwalt und parlamentarische Rat Pierre de Fermat. Vor allem bemühten sie sich, Formeln zu finden, die in großer Menge, ja vielleicht überhaupt nur Primzahlen lieferten.
    Eines der trügerischen Rezepte für Primzahlen, an dem sie sich abarbeiteten, lautet: „Man nehme eine Zahl, addiere dazu ihr Quadrat und die Zahl 41. Dann erhält man eine Primzahl.“ Anfangs sehen die Ergebnisse vielversprechend aus: Nimmt man 1, lautet dessen Quadrat 1 2  = 1, und die beiden Zahlen zu 41 addiert ergeben die Primzahl 43, Nimmt man 2, lautet dessen Quadrat 2 2  = 4. Die beiden Zahlen zu 41 addiert ergeben die Primzahl 47. Bei der 3 lautet das Ergebnis 53, ebenfalls eine Primzahl. Bei der 4 und der 5 kommt man auf die Primzahlen 61 und 71. Und damit ist es noch lange nicht zu Ende. Nimmt man zum Beispiel 10 und addiert dazu dessen Quadrat 10 2  = 100 sowie die Zahl 41, bekommt man die Primzahl 151. Oder nimmt man 36 und addiert dazu dessen Quadrat 36 2  = 1296 sowie die Zahl 41, ist das Resultat die Primzahl 1373. Für alle Zahlen von 1 bis 39 liefert das Rezept Primzahlen. Aber bei 40 ist Schluss. Denn addiert man zu 40 dessen Quadrat 40 2  = 40  ×  40, berechnet man die Zahl 40  ×  41. Und wenn man zu dieser noch 41 addiert, hat man 41  ×  41 = 41 2 berechnet. Und das kann keine Primzahl sein. (Es ist schön, dass man für diese Feststellung gar nicht zu rechnen braucht. Natürlich kann man ebenso gut argumentieren, dass 40 zu seinem Quadrat 40 2  = 1600 addiert die Zahl 1640 ergibt und dies um 41 vermehrt auf 1681 führt. Und man kann leicht bestätigen, dass 1681 = 41 2  = 41  ×  41 keine Primzahl ist. Aber offenkundig ist das die Rechnung vermeidende Argument weitaus eleganter.)
    Marin Mersenne fand ein anderes Rezept. Er zog von Potenzen von 2, also von den Zahlen
    2
2
 = 4, 2
3
= 8, 2
4
= 16,2
5
= 32, 2
6
= 64, 2
7
= 128,
2
8
= 256, 2
9
 = 512, …
    immer 1 abund stellte fest: Nur wenn die Hochzahl eine Primzahl ist, ergibt die Differenz der Zahl 1 von der Zweierpotenz eine Primzahl. In der Tat sind
    2
2
− 1 = 3, 2
3
− 1 = 7, 2
5
− 1= 31, 2
7
−1 =127
    lauterPrimzahlen. Die Differenz der Zahl 1 von einer Zweierpotenz mit einer Hochzahl, die zusammengesetzt ist, kann keinesfalls Primzahl sein, wie schon die Rechnungen
    2
4
 − 1 = 15 = (2
2

− 1) × (1 + 2
2
) = 3 × 5,
2
6
 − 1 = 63 = (2
3
− 1) × (1 + 2
3
) = 7 
× 9,
2
8
 − 1 = 255 = (2
4
− 1) × (1 + 2
4
) = 15 × 17,
2
9
 − 1 = 511 = (2
3
− 1) × (1 + 2
3
+ 2
6
) =7 × 73
    belegen. 12 Allerdings erkannte Mersenne, dass sein Rezept nicht immer, sogar nur selten wirkt: Selbst wenn die Hochzahl von 2 eine Primzahl ist, muss die Differenz der Zahl 1 von dieser Zweierpotenz keine Primzahl sein. Zwar stimmt sein Rezept für die Hochzahlen 2, 3, 5 und 7, aber mit der Primzahl 11 als Hochzahl ist auch hier wieder Schluss. Denn 2 11 − 1 =