Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

So ersetzt er 221 durch 0, 222 durch 1, 223 durch 2, 224 durch 3 und so weiter. Bei der Zahl 1000 muss er 221 viermal abziehen, denn so häufig ist 221 ganzzahlig in 1000 enthalten. Mit der Subtraktion 1000  −  4  ×  221 = 1000  −  884 gelangt er zu 116. Smiley schreibt dafür: 1000 ≡ 116. Statt der zwei Striche des gewöhnlichen Gleichheitszeichens = schreibt er das Zeichen ≡ mit drei Strichen. Gauß, der Erfinder dieses Symbols, sagte dazu, dass 1000 und 116, bezogen auf den Modul 221, kongruent sind.
    Die Zahlen, so kann man es sich vorstellen, sind als Punkte auf einem Kreis eingetragen. 221 Punkte, bezeichnet mit 0, 1, 2, …, bis zu 220, liegen im gleichen Abstand voneinander auf dem Kreis. Sie bilden die Ecken eines regelmäßigen 221-Ecks. Und Smiley zählt und rechnet so, als ob er diese Punkte auf dem Kreis entlangläuft.
    Smiley verschlüsselt die Zahl 7 des Agenten 007 auf folgende Weise: Er multipliziert 7 elf mal mit sich selbst – eben so oft, wie es der ihm vom Circus mitgeteilte Exponent verlangt – und ermittelt danach, zu welcher seiner 221 Zahlen seines Zahlensystems diese Potenz 7 11 , also das elffache Produkt von 7 mit sich selbst, kongruent ist. Und diese Zahl funkt er zum Circus nach London. Nun ist 7 11 eine sehr große Zahl. Ihr Wert beträgt
    7
11
= 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 
7 × 7 × 7 × 7 = 1 977 326 743.
    Der Modul 221 ist in ihr 8 947 179-mal enthalten. Subtrahiert man das 8 947 179-Fache des Moduls 221 von dem Zahlenmonster 7 11 , bleibt der Rest 184. Das ist die Zahl, die Smiley an den Circus schicken sollte, weil sie die Geheimzahl 7 kodiert.
    Das einzige Problem, dem sich Smiley gegenübersieht, ist: Sein Taschenrechner kann Zahlenmonster wie 1 977 326 743 nicht packen. Die Anzeige umfasst bloß acht Stellen. Bei der Aufforderung, größere Zahlen zu ermitteln, antwortet sein Rechner mit „Error“. Und so große Zahlen mit der Hand zu berechnen, ist für Smiley zu mühsam und auch zu gefährlich. Es darf sich ja beim Kodieren kein Rechenfehler einschleichen. Doch diese Schwierigkeit weiß er auf eine elegante Art zu umschiffen:
    Er berechnet nicht direkt das Zahlenmonster 7 11 , sondern zuerst nur die Potenzen 7 1  = 7, 7 2  = 7  ×  7, 7 4  = 7 2  ×  7 2 und 7 8  = 7 4  ×  7 4 . Die beiden erstgenannten kann er im Kopf ermitteln: 7 1  = 7 und 7 2  = 49. Bei der nächsten nimmt er den Taschenrechner zur Hand, erhält 7 4  = 49  ×  49 = 2401 und verkürzt dieses Ergebnis gleich auf sein Zahlensystem: Der Modul 221 ist in 2401 zehnmal enthalten und die Subtraktion 2401  −  10  ×  221 = 2401  −  2210 ergibt 191. Darum schreibt Smiley 7 4   ≡  191. Für die Berechnung von 7 8  = 7 4  ×  7 4 verwendet Smiley gleich den Rest 191: Diese Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt 36 481. Der Modul 221 ist darin 165-mal enthalten. Zieht man 165  ×  221 = 36 465 von 36 481 ab, verbleibt 16. Also schreibt Smiley 7 8   ≡  16. Er hat damit die folgende Liste vor sich:
    7
1

≡
7, 7
2

≡
49, 7
4
 
≡
 191, 7
8
 
≡
 16.
    Zur Berechnung von 7 11 braucht er jetzt nur mehr 7 8  ×  7 2  ×  7 1 auszurechnen, weil die Summe 8 + 2 + 1 den Exponenten 11 ergibt. Smiley bedient sich gleich der entsprechenden Reste und bekommt für 16  ×  49  ×  7 das Ergebnis 5488. In ihm ist der Modul 221 ganzzahlig 24-mal enthalten. Aus der Subtraktion 5488  −  24  ×  221 = 5488  −  5304 = 184 gewinnt Smiley nun das gleiche Ergebnis wie oben: Es ist 7 11   ≡  184. Darum funkt Smiley zum Circus: „Es wäre schön, mit 184 zusammen Tee zu trinken.“
    Keiner der sowjetischen Spione ahnt, dass sich hinter 184 just die Zahl 7 verbirgt. Nur der Circus in London kann es herausfinden. Aus seinem Tresor nimmt nämlich Toby Esterhase, jener Mann, der für das Dekodieren von Nachrichten zuständig ist, ein mit einem„Top Secret“-Stempel versehenes Papier heraus, auf dem der zum Modul 221 und zum Exponenten 11 gehörende „Geheimexponent“ steht. Nur der Circus kennt ihn, und er wird wie ein rohes Ei behandelt. Allein dem engsten Kreis der Zuverlässigsten ist er zugänglich. Der zum Modul 221 und zum Exponenten 11 gehörende Geheimexponent heißt 35.
    Um Smileys Nachricht zu dechiffrieren, geht Toby Esterhase ganz ähnlich vor wie Smiley. Nur nimmt er jetzt die ihm zugesandte kodierte Zahl 184 zur Hand und multipliziert diese 35-mal mit sich selbst – so oft,