Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

wie es der Geheimexponent aus dem Tresor verlangt. Nun aber ist 184 35 ein Zahlenmonster mit achtzig Stellen. Das überfordert den armen Esterhase ein wenig. Aber genauso wie Smiley weiß er sich zu helfen. Er berechnet der Reihe nach die Potenzen 184 1 , 184 2 , 184 4 , 184 8 , 184 16 , 184 32 , wobei er alle Ergebnisse immer gleich mit dem Modul 221 verkürzt. Also der Reihe nach: Zuerst ist 184 1  = 184. Danach ergibt 184 2  = 184  ×  184 die Zahl 33 856. Der Modul 221 ist 153-mal in ihr enthalten. Toby Esterhase rechnet
    33 856− 153 × 221 = 33 856− 33 813 = 43
    und kommt so auf das Resultat 184 2   ≡  43. Nun zur nächsten Potenz: 184 4  = 184 2  ×  184 2 ermittelt Esterhase so, dass er den 184 2 entsprechenden Rest 43 mit sich selbst multipliziert. Es ist 43  ×  43 = 1849. Der Modul 221 ist achtmal darin enthalten. Toby Esterhase rechnet
    1849− 8 × 221 = 1849− 1768 = 81
    und kommt so auf das Resultat 184 4   ≡  81. Nun zur nächsten Potenz: 184 8  = 184 4  ×  184 4 ermittelt Esterhase so, dass er den 184 4 entsprechenden Rest 81 mit sich selbst multipliziert. Es ist 81  ×  81 = 6561. Der Modul 221 ist 29-mal darin enthalten. Toby Esterhase rechnet
    6561− 29 × 221 = 6561− 6409 = 152
    und kommt so auf das Resultat 184 8   ≡  152. Nun zur nächsten Potenz: 184 16  = 184 8  ×  184 8 ermittelt Esterhase so, dass er den 184 8 entsprechenden Rest 152 mit sich selbst multipliziert. Es ist 152  ×  152 = 23 104. Der Modul 221 ist 104-mal darin enthalten. Toby Esterhase rechnet
    23 104− 104 × 221 = 23 104−
22 984 = 120
    und kommt so auf das Resultat 184 16   ≡  120. Jetzt zur Potenz: 184 32  = 184 16  ×  184 16 . Der 184 16 entsprechende Rest 120 mit sich selbst multipliziert ergibt 14 400. Der Modul 221 ist 65-mal darin enthalten. Mit der Rechnung
    14 400− 65 × 221 = 14 400
− 14 365 = 35
    findet Toby Esterhase das Ergebnis 184 32   ≡  35.
    Nun ist er fast am Ziel. Denn zur Berechnung von 184 35 braucht er jetzt nur mehr 184 32  ×  184 2  ×  184 1 auszurechnen, weil die Summe 32 + 2 + 1 den Geheimexponenten 35 ergibt. Toby Esterhase bedient sich gleich der entsprechenden Reste und bekommt für 35  ×  43  ×  184 das Ergebnis 276 920. In ihm ist der Modul 221 ganzzahlig 1253-mal enthalten. Aus der Subtraktion
    276 920 − 1253 × 221 = 276 920 − 276 913 = 7
    entdeckt Toby Esterhase, welche Zahl ihm George Smiley eigentlich senden wollte: Es ist 184 35   ≡  7. Smiley möchte mit Agent 007 jenseits des Eisernen Vorhangs „Tee trinken“.
    Toby Esterhase rechnet alles sorgfältig ein zweites Mal und ein drittes Mal nach. Denn jeder noch so kleine Fehler wäre fatal. Aber warum dieses Verfahren mit dem Geheimexponenten 35 so zauberhaft funktioniert, warum aus der kodierten Mitteilung 184 der Wunsch Smileys nach einem Treffen mit dem Agenten 007 dechiffriert werden kann, versteht Toby Esterhase nicht. 15 Er macht einfach das, was ihm aufgetragen wurde. Für Englands Ruhm, wie er vorgibt. Für Bill Haydon, seinen unmittelbaren Chef, dem er treu ergeben ist. Und für seinen Ehrgeiz. Denn wenn er gewissenhaft alle Aufträge erledigt, darf er vielleicht einmal den Liftknopf drücken, der ihn im Circus zur höchsten Etage befördert, dorthin, wo Bill Haydon herrscht.
    Nun ist geklärt, wie das zauberhafte Verschlüsselungsverfahren funktioniert. Aber eine Frage ist noch offen.

Große Primzahlen
    Was, so lautet die offene Frage, hindert die russischen Agenten daran, wie Toby Esterhase zu rechnen? Denn sie kennen wie der Circus sowohl den Modul 221 und den Exponenten 11 als auch die kodierte Nachricht 184 des George Smiley. Was hindert sie, den Rest von 184 35 nach Division durch 221 zu ermitteln?
    Sie kennen den Geheimexponenten 35 nicht, lautet die Antwort.
    Aber könnten sie nicht aus der Kenntnis des Moduls 221 und des Exponenten 11 diesen Geheimexponenten 35 ermitteln? Irgendwie ist das ja auch den Eierköpfen im Circus gelungen, die dann den Zettel mit der Zahl 35 im Tresor versperrten.
    Die Antwort lautet: Das ist tatsächlich möglich. Und es ist auch kein Geheimnis, wie man zur Zahl 35 kommt. Allerdings nur, wenn man weiß, dass 221 das Produkt der Primzahlen 13 und 17 ist: 13  ×  17 = 221. Danach ist alles sehr einfach. Man geht nach dem folgenden „Rezept“ vor: Von den beiden Primzahlen 13 und 17 zieht man jeweils 1 ab, erhält also die Zahlen 12 und 16, und bildet