Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

mathematischen Induktion — ein anderer Ausdruck für ein Vererblichkeits-Argument. Peano hoffte, daß diese fünf Restriktionen der Begriffe „Geist“, „Schinn“ und „Meta“ so stark seien, daß wenn zwei Menschen sich mentale Vorstellungen von den Begriffen machten, die beiden mentalen Vorstellungen völlig isomorphe Strukturen aufwiesen. Zum Beispiel wäre allen Menschen die Vorstellung von einer unendlichen Anzahl von Schinns gemeinsam. Und jedermann wäre sich vermutlich darin einig, daß kein Schinn sein eigenes Meta oder das Meta seines Metas ist usw.
    Peano hatte gehofft, das Wesen der natürlichen Zahlen in seinen fünf Postulaten festgelegt zu haben. Mathematiker geben im allgemeinen zu, daß er damit Erfolg hatte, aber das mindert nicht die Wichtigkeit der Frage: „Wie kann man eine wahre Aussage über natürliche Zahlen von einer falschen unterscheiden?“ Und um diese Frage zu beantworten, wandten sich die Mathematiker vollständig formalen Systemen — wie z. B. TNT — zu. Man wird jedoch bei TNT Peanos Einfluß erkennen, weil alle seine Postulate auf die eine oder andere Weise in TNT enthalten sind.
Neue TNT-Regeln: Spezialisierung und Generalisierung
    Wir kommen nunmehr zu den neuen TNT-Regeln. Viele davon werden uns erlauben, in die innere Struktur der Atome von TNT einzugreifen und diese Zu verändern. In diesem Sinne haben sie mehr mit „mikroskopischen“ Eigenschaften von Ketten zu tun als die Regeln der Aussagenlogik, die die Atome als unteilbare Einheiten auffassen. Zum Beispiel käme es uns sehr gelegen, wenn wir die Kette ~ S0 = 0 aus dem ersten Axiom ableiten könnten. Dazu brauchten wir eine Regel, die uns gestattet, einen Allquantor fallen zu lassen und zur gleichen Zeit die innere Struktur der verbleibenden Kette zu verändern, wenn wir es wünschen. Eine solche ist die
    S PEZIALISIERUNGSREGEL : Angenommen, u sei eine im Inneren der Kette x vorkommende Variable. Wenn die Kette ∀ u:x ein S ATZ ist, dann auch x, desgleichen jede beliebige Kette, die aus x entsteht, wenn man u, wo immer es vorkommt, durch ein und denselben Term ersetzt.
    (Einschränkung: Der Term, der u enthält, darf keine in x quantifizierten Variablen enthalten.)
    Die Spezialisierungsregel erlaubt uns, die gewünschte Kette aus Axiom 1 zu gewinnen. Es ist eine Ableitung in einem Schritt:
∀a :~ Sa = 0
Axiom 1
~ S0 = 0
Spezialisierungsregel
    Man beachte, daß die Spezialisierungsregel es ermöglicht, gewisse Formeln, die freie Variablen enthalten (also offene Formeln), zu S ÄTZEN werden zu lassen. Zum Beispiel könnte auch die folgende Kette durch Spezialisierung aus Axiom 1 abgeleitet werden:
    ~ Sa = 0
    ~ S ( c + SS0 )= 0
    Es gibt eine weitere Regel, die Generalisierungsregel, die uns gestattet, den Allquantor in S ÄTZE zurückzubringen, welche Variablen enthalten, die infolge der Anwendung der Spezialisierung frei wurden. Die Generalisierung, angewandt auf die untere Kette, ergäbe zum Beispiel:
    ∀c :~ S ( c + SS0 )= 0
    Die Generalisierung hebt die Spezialisierung auf und umgekehrt. Üblicherweise wird die Generalisierung angewandt, nachdem verschiedene Zwischenschritte die offene Formel auf verschiedene Arten transformiert haben. Genau lautet die Regel:
    G ENERALISIERUNGSREGEL : Angenommen x ist ein S ATZ , in dem u, eine Variable, frei vorkommt. Dann ist ∀ u:x ein S ATZ .
    (Einschränkung: In einer Fantasie, in der eine Variable in der Voraussetzung der Fantasie frei vorkommt, ist keine Generalisierung für diese Variable zulässig.)
    Die Notwendigkeit der Einschränkungen dieser beiden Regeln werden wir bald explizitzeigen. Übrigens ist diese Generalisierung dieselbe, die, wie erwähnt, in Euklids Beweis der Unendlichkeit der Menge der Primzahlen auftritt (Kapitel II). Wir können bereits erkennen, wie die Regeln für die Manipulation von Symbolen sich der Form des folgerichtigen Denkens annähern, wie sie ein Mathematiker gebraucht.
Der Existenzquantor
    Die beiden letzten Regeln sagten uns, wie man Allquantoren herausnehmen und wieder einführen kann; die beiden nächsten Regeln sagen uns, wie Existenzquantoren zu behandeln sind.
    A USTAUSCHREGEL : Angenommen u sei eine Variable. Dann sind die Ketten ∀ u :~ und ~∃ u : irgendwo innerhalb von jedem S ATZ austauschbar.
    Wenden wir zum Beispiel diese Regel auf Axiom 1 an:
∀a :~ Sa = 0
Axiom 1
~ ∃a : Sa = 0
Austauschregel
    Übrigens hat der Leser vielleicht gemerkt, daß diese beiden Ketten ganz natürliche TNT-Wiedergaben der Aussage „Null