Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

(Zeilen 9, 8)
    Das ist die erste Katastrophe. Die zweite ist die Folge fehlerhafter Anwendung der Spezialisierungsregel.
0000000000000000000000
1)
∀a : a = a
vorhergehender S ATZ
2)
Sa = Sa
Spezialisierungsregel
3)
∃b : b = Sa
Existenzregel
4)
∀a : ∃b : b = Sa
Generalisierungsregel
5)
∃b : b = Sb
Spezialisierungsregel (falsch)
    Man sieht jetzt, warum diese Einschränkungen notwendig sind.
    Ein einfaches Problem ist das folgende: Wenn man es noch nicht getan hat, übersetze man Peanos viertes Postulat in die TNT-Notation und leite diese Kette als S ATZ ab.
Etwas fehlt
    Wenn der Leser ein bißchen mit den bisher vorgelegten Regeln und Axiomen von TNT herumexperimentiert, dann wird er herausfinden, daß er die folgende pyramidale Familie von S ÄTZEN erzeugen kann — eine Anzahl von Ketten, alle in dieselbe Form gegossen, die sich voneinander nur dadurch unterscheiden, daß die Zahlzeichen 0 , S0 , SS0 usw. hineingestopft wurden.
    ( 0 + 0 )= 0
    ( 0 + S0 )= S0
    ( 0 + SS0 )= SS0
    ( 0 + SSS0 )= SSS0
    ( 0 + SSSS0 )= SSSS0
    usw.
    Tatsächlich läßt sich jeder S ATZ in dieser Familie von dem unmittelbar darüberstehenden in ein paar Zeilen ableiten. Es handelt sich also um eine Art „S ATZ -Kaskade“, bei der jeder S ATZ den folgenden auslöst. (Diese S ÄTZE erinnern stark an die pg-S ÄTZE , bei denen die mittlere und die rechte Gruppe von Bindestrichen gleichzeitig anwuchsen.)
    Nun gibt es eine Kette, die wir leicht niederschreiben können und die die passive Bedeutung aller dieser S ÄTZE zusammenfaßt. Diese allquantifizierte zusammenfassende Kette lautet:
    ∀a :( 0 + a )= a
    Mit den bisher angegebenen Regeln jedoch läßt sich diese Kette nicht erzeugen. Versuchen Sie selbst, es zu tun, wenn Sie mir nicht glauben!
    Vielleicht ist der Leser der Meinung, daß wir diese Situation mit der folgenden Regel sofort richtigstellen können:
    (V ORGESCHLAGENE ) A LL -R EGEL : Wenn alle Ketten in einer pyramidalen Familie S ÄTZE sind, dann ist es auch die allquantifizierte Kette, die sie zusammenfaßt.
    Das Problematische an dieser Regel ist, daß sie nicht im M-Modus verwendbar ist. Nur jemand, der über das System nachdenkt, kann jemals wissen, daß alle Ketten einer unendlichen Menge S ÄTZE sind. Es ist also keine Regel, die sich in ein beliebiges formales System hineinstecken läßt.
ω-unvollständige Systeme und unentscheidbare Ketten
    Wir finden uns somit in der seltsamen Lage, daß wir typographisch S ÄTZE über die Addition spezieller Zahlen erzeugen können, daß aber selbst eine so einfache Kette wie die obige, die eine allgemeine Eigenschaft der Addition ausdrückt, kein S ATZ ist. Vielleicht kommt es dem Leser gar nicht so seltsam vor, daß wir uns beim pg-System in genau der gleichen Lage befanden. Indessen machte das pg-System sich nichts darüber vor, was ihm zu leisten möglich war, und tatsächlich gab es keine Methode, umallgemeine Aussagen über die Addition in seiner Symbolik auszudrücken, geschweige denn zu beweisen. Dazu war einfach die Ausrüstung nicht vorhanden, und wir kamen gar nicht auf die Idee, daß das System fehlerhaft sei. Bei TNT sind jedoch die Ausdrucksmöglichkeiten viel stärker, und wir hegen hier höhere Erwartungen als beim pg-System. Wenn die oben genannte Kette kein S ATZ ist, dann werden wir guten Grund haben, TNT als fehlerhaft zu betrachten. Es gibt tatsächlich einen Namen für Systeme mit Fehlern dieser Art — man nennt sie ω-unvollst ändig. (Die Vorsilbe „ω“ griechisches Omega — rührt daher, daß die Gesamtheit der natürlichen Zahlen mitunter als „ω“ bezeichnet wird.) Hier die genaue Definition:
    Ein System ist ω-unvollständig, wenn alle Ketten einer pyramidalen Familie S ÄTZE sind, die allquantifizierte zusammenfassende Kette aber kein S ATZ ist.
    Übrigens ist die Verneinung der obigen zusammenfassenden Kette
    ~ ∀a :( 0 + a )= a
    ebenfalls ein Nicht-S ATZ in TNT. Das heißt, daß die ursprüngliche Kette innerhalb des Systems unentscheidbar ist. Wäre das eine oder andere ein S ATZ , dann würden wir sagen, er sei entscheidbar. Obgleich es sich wie ein Stück Mystik anhört, ist an der Unentscheidbarkeit innerhalb eines gegebenen Systems gar nichts Mystisches. Es ist nur ein Zeichen dafür, daß das System weiterentwickelt werden könnte. Zum Beispiel ist innerhalb der absoluten Geometrie Euklids fünftes Postulat unentscheidbar. Es muß der Geometrie als ein zusätzliches Postulat beigefügt werden, will man die euklidische Geometrie