Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

erhalten, oder umgekehrt, man kann die Negation hinzufügen, will man eine nichteuklidische Geometrie erhalten. Wenn man sich an die Geometrie erinnert, wird man sich entsinnen, warum diese komische Sache passiert. Eben deshalb, weil die vier Postulate der absoluten Geometrie die Bedeutung des Ausdrucks „Punkt“ und „Gerade“ ganz einfach nicht erfassen und Raum für verschiedene Erweiterungen des Begriffs lassen. Die Punkte und Geraden der euklidischen Geometrie liefern eine Erweiterung der Begriffe „Punkt“ und „Gerade“, die P UNKTE und G ERADEN der nichteuklidischen Geometrie eine andere. Indessen ließen die vorbelasteten Wörter „Punkt“ und „Gerade“ die Menschen zwei Jahrtausende lang glauben, daß diese Wörter notwendigerweise einwertig, nur einer Bedeutung fähig seien.
Nichteuklidisches TNT
    Was TNT betrifft, sehen wir uns einer ähnlichen Situation gegenüber. Wir haben eine Notation gewählt, die uns in gewisser Weise voreingenommen macht. Zum Beispiel verleitet die Verwendung des Symbols „+“ zum Glauben, daß jeder S ATZ , der ein Plus-Zeichen enthält, etwas Bekanntes und uns Vertrautes und „Vernünftiges“ über die bekannte und vertraute Operation, die wir „Addition“ nennen, aussagen müsse. Deshalb ginge es uns gegen den Strich, das folgende „sechste Axiom“ hinzuzufügen:
    ~ ∀a :( 0 + a )= a
    Es stimmt nicht mit dem überein, was wir über die Addition zu wissen glauben. Es ist aber eine mögliche Erweiterung von TNT, soweit wir TNT bisher formuliert haben. Das System, das diesen Zusatz als sechstes Axiom verwendet, ist ein widerspruchsfreies System in dem Sinn, daß es nicht zwei S ÄTZE der Form x und ~x enthält. Wenn man jedoch dieses „sechste Axiom“ der pyramidalen Familie von S ÄTZEN gegenüberstellt, wird man vermutlich durch einen scheinbaren Widerspruch zwischen der Familie und dem neuen Axiom gestört. Aber diese Art Widersprüchlichkeit ist nicht so schädlich wie die andere, wo x und ~x beide S ÄTZE sind. Tatsächlich ist es gar kein wirklicher Widerspruch, weil die Möglichkeit besteht, die Symbole so zu interpretieren, daß am Ende alles richtig herauskommt.
ω-widerspruchsvoll ist nicht das Gleiche wie widerspruchsvoll
    Diese Art der Widersprüchlichkeit, entstanden aus der Gegenüberstellung 1) einer pyramidalen Familie von S ÄTZEN , die kollektiv behaupten, daß alle natürlichen Zahlen eine gewisse Eigenschaft haben, und 2) eines einzelnen S ATZES , der zu behaupten scheint, daß nicht alle Zahlen sie besitzen, nennt man ω-widerspruchsvoll. Ein ω-widerspruchsvolles System ist ähnlich wie die zunächst schwer zu schluckende, aber schließlich doch annehmbare nichteuklidische Geometrie. Um ein mentales Modell dessen zu erhalten, was hier vorgeht, muß man sich vorstellen, daß es gewisse, unvermutete „Extrazahlen“ gibt — nennen wir sie nicht „natürliche“, sondern „übernatürliche“ Zahlen —, die keine Zahlzeichen besitzen. Deshalb können Tatsachen, die sie betreffen, in der pyramidalen Familie nicht ausgedrückt werden. (Das ist ein bißchen wie Achilles' Vorstellung von Z EUS als eine Art „Superschinn“, ein Wesen größer als alle einzelnen Schinns. Der Geist machte sich darüber lustig, aber es ist ein sehr einleuchtendes Bild und hilft dem Leser vielleicht, sich übernatürliche Zahlen vorzustellen.)
    Das sagt uns, daß die Axiome und Regeln von TNT, soweit wir sie bereits angegeben haben, die Interpretation von TNT nicht endgültig festlegen. Es bleibt immer noch ein Spielraum für Änderungen am mentalen Modell der Begriffe, für die sie stehen. Jede der verschiedenen möglichen Erweiterungen wird einige Begriffe weiter präzisieren aber auf unterschiedliche Weise. Welche Symbole würden „schwer zu schluckende“ passive Bedeutungen annehmen, wenn wir das oben erwähnte „sechste Axiom“ beifügten? Würden alle Symbole angesteckt, oder würden einige noch immer das bedeuten, was wir von ihnen verlangen? Der Leser möge darüber nachdenken. Einigen ähnlichen Fragen werden wir in Kapitel XIV begegnen, und wir wollen dieses Thema dort besprechen. Jedenfalls wollen wir dieser Erweiterung jetzt nicht nachgehen, sondern statt dessen versuchen, die ω-Unvollständigkeit von TNT zu kurieren.
Die letzte Regel
    Das Problem bei der „All-Regel“ war, daß sie das Wissen erfordert, daß alle Zeilen einer unendlichen pyramidalen Familie S ÄTZE sind — zuviel für ein endliches Wesen. Aber nehmen wir an, daß jede