Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes Band

einfach, man braucht dem Ganzen nur einen Allquantor voranzustellen:
    ∀a :~ ∃b : ∃c :(( a·a ) · a )=((( Sb·Sb ) · Sb )+(( Sc·Sc ) · Sc ))
    Eine ebensogute Übersetzung wäre:
    ~ ∃a : ∃b : ∃c :(( a·a ) · a )=((( Sb·Sb ) · Sb )+(( Sc·Sc ) · Sc ))
    In strenger TNT könnten wir a ' statt b und a '' statt c verwenden, und die Formel würde lauten:
    ~ ∃a : ∃a ': ∃a '':(( a·a ) · a )=((( Sa ' ·Sa ') · Sa ')+(( Sa '' ·Sa '') ·Sa ''))
    Wie steht es mit Aussage 1: „5 ist eine Primzahl“? Wir hatten ihn wie folgt umformuliert: „Es gibt keine Zahlen a und b beide größer als 1, so daß 5 gleich a mal b ist.“ Wir können das etwas modifizieren: „Es gibt keine Zahlen a und b , so daß 5 gleich a + 2 mal b plus 2 ist.“ Das ist ein weiterer Kunstgriff - da a und b auf die Werte natürlicher Zahlen beschränkt sind, ist das eine angemessene Methode, um das Gleiche zu sagen. Nun könnte man „ b plus 2“ als ( b + SS0 ) übersetzen, aber es gibt eine kürzere Schreibweise: nämlich SSb . In gleicher Weise kann man „ c plus 2“ als SSc schreiben. Jetzt ist unsere Übersetzung äußerst konzis:
    ~ ∃b : ∃c : SSSSS0 =( SSb · SSc )
    Ohne die Tilde zu Beginn wäre das eine Behauptung, daß zwei natürliche Zahlen wirklich existieren, die, wenn um 2 vermehrt, ein Produkt besitzen, das gleich 5 ist. Mit der vorangestellten Tilde wird die ganze Aussage verneint, und das führt zur Behauptung, 5 sei eine Primzahl. Wollten wir behaupten, daß d plus e plus 1 anstelle von 5 eine Primzahl ist, dann ist die rationellste Methode die, die Ziffer 5 durch die Kette ( d + Se ) zu ersetzen:
    ~ ∃b : ∃c :( d + Se )=( SSb · SSc )
    Wiederum eine offene Formel, also eine, deren Interpretation weder eine wahre noch eine falsche Aussage ist, sondern einfach eine Behauptung über zwei unspezifizierte Zahlen d und e . Man beachte, daß die durch die Kette ( d + Se ) repräsentierte Zahl notwendigerweise größer als d ist, da man zu d einen unspezifizierten, aber unzweifelhaft positiven Betrag addiert hat. Wenn wir also die Variable e existentiell quantifizieren, erhalten wir eine Formel, die behauptet:
    Es gibt eine Zahl, die größer als d und eine Primzahl ist.
    ∃e :~ ∃b : ∃c :( d + Se )=( SSb · SSc )
    Nun, alles, was wir jetzt noch zu tun haben, ist zu behaupten, daß diese Eigenschaft besteht, was immer auch d sein mag. Man erreicht das durch Allquantifizierung der Variablen d :
    ∀d : ∃e :~ ∃b : ∃c :( d + Se )=( SSb·SSc )
    Das ist die Übersetzung von Aussage 5!
Übersetzungsaufgaben für den Leser
    Die Aufgabe, alle sechs für die Zahlentheorie typischen Aussagen zu übersetzen, wäre damit erfüllt. Doch sind wir damit nicht automatisch Fachleute in der TNT-Notation. Es gibt noch einige verzwickte Fragen zu lösen. Mit den folgenden sechs wohlgeformten Formeln kann der Leser sein Verständnis der TNT-Notation prüfen. Was bedeuten Sie? Welche von ihnen sind wahr (natürlich wenn interpretiert!) und welche falsch? (Hinweis: die Lösungsmethode besteht darin, daß man nach links fortschreitet. Zuerst übersetze man das Atom, dann überlege man sich, was die Beifügung eines einzigen Quantors oder einer Tilde bewirkt; dann rücke man weiter nach links und füge einen anderen Quantor oder eine andere Tilde hinzu, gehe wieder einen Schritt nach links und tue das Gleiche.)
    ~ ∀c : ∃b :( SS0·b )= c
    ∀c :~ ∃b :( SS0·b )= c
    ∀c : ∃b : ~( SS0·b )= c
    ~ ∃b : ∀c :( SS0·b )= c
    ∃b :~ ∀c :( SS0·b )= c
    ∃b : ∀c :~( SS0·b )= c
    (Zweiter Hinweis: Entweder sind vier wahr und zwei falsch, oder vier falsch und zwei wahr.)
Der Unterschied zwischen Wahr und Falsch
    An diesem Punkt macht sich eine Atempause bezahlt. Man überlege, was es bedeuten würde, über ein formales System zu verfügen, das die wahren Aussagen aus den falschen heraussieben würde; dieses System würde all diese Ketten - die für uns wie Aussagen aussehen - als Entwürfe behandeln, die zwar eine Form, aber keinen Inhalt haben. Und dieses System wäre wie ein Sieb, durch das nur Entwürfe mit einem besonderen Stil hindurchgehen, dem „Stil der Wahrheit“. Wenn man die oben genannten Formeln geprüft und die falschen von den richtigen getrennt hat, indem man über ihre Bedeutung nachdachte, wird man die Feinheiten zu schätzen wissen, die ein solches System haben müße, das dasselbe leisten könnte - nur eben typographisch! Die Grenze, die die wahren Aussagen von der Menge der falschen trennt (wie