Homers letzter Satz: Die Simpsons und die Mathematik (German Edition)

Trefferzahl beider Seiten. Wir untersuchen den Einfluss einer roten Karte auf den Spielausgang mithilfe einer bedingten Maximum-Likelihood-Schätzung (CML) unabhängig von anderen Spiel-spezifischen Bedingungen.«
    Die Autoren argumentieren, dass sich ein absichtliches Foul an einem Stürmer beim Torangriff außerhalb des Strafraums durch einen Spieler positiv für die Verteidigermannschaft auswirkt, weil es ein Tor verhindert, gleichzeitig aber auch negative Auswirkungen hat, weil der Verteidiger vom Platz geschickt wird und für den Rest des Spiels nicht mehr spielen kann. Wenn sich der Vorfall in der letzten Spielminute ereignet, überwiegt der positive Einfluss, weil der Spieler erst am Ende des Spiels den Platz verlassen muss. Wenn es jedoch in der ersten Minute zu dem Vorfall kommt, wiegt der negative Einfluss schwerer, weil das ganze Spiel über nur noch zehn Spieler der Mannschaft auf dem Platz stehen. In diesen Extremsituationen sind die Auswirkungen auf den Spielverlauf offensichtlich. Doch wie verhält es sich, wenn sich mitten im Spiel die Gelegenheit bietet, ein Tor durch ein absichtliches Foul zu verhindern? Lohnt es sich?
    Professor Ridder und Kollegen berechneten mit mathematischen Methoden den kritischen Zeitpunkt, ab dem es sich wahrscheinlich lohnt, vom Platz geschickt zu werden, wenn dadurch ein Tor verhindert wird.
    Wenn man von zwei gleich starken Mannschaften ausgeht und der angreifende Stürmer fast unausweichlich ein Tor schießen wird, dann lohnt es sich ab der 17. Minute eines 90-Minuten-Spiels, das Foul zu begehen. Wenn die Chance auf ein Tor bei 60 Prozent liegt, sollte der Verteidiger mit einem Foul bis zur 48. Minute warten. Wenn die Torchance bei nur 30 Prozent liegt, sollte der Verteidiger die Notbremse erst ab der 71. Minute ziehen. Es gibt ehrenhaftere Wege, die Mathematik auf Sport anzuwenden, aber es ist ein nützliches Ergebnis.

ANHANG 2
Die Euler’sche Formel
    e i π + 1 = 0
    Die Euler’sche Formel ist bemerkenswert, weil sie fünf Grundbausteine der Mathematik in sich vereinigt: 0, 1, π, e und i. In diesem Abschnitt geht es darum, was es bedeutet, e mit einer imaginären Zahl zu potenzieren, und damit auch um die Gültigkeit der Formel selbst. In den Erklärungen werden Kenntnisse einiger mäßig komplexer Gebiete vorausgesetzt wie trigonometrische Funktionen, Winkel in Bogenmaß und imaginäre Zahlen.
    Beginnen wir zunächst mit der Taylorreihe, durch die jede Funktion als Summe mit unendlich vielen Gliedern dargestellt werden kann. Wer wissen will, wie genau eine Taylorreihe aufgebaut wird, muss anderswo nachschlagen. Doch in diesem Fall kann die Funktion e x folgendermaßen dargestellt werden:

    Da x jeden beliebigen Wert annehmen kann, kann man x durch ix ersetzen, für i 2 = −1. Damit erhält man folgende Reihe:

    Als nächstes fasst man die Glieder zusammen, je nachdem, ob sie i enthalten oder nicht:

    Durch einen scheinbar unnötigen Umweg findet man so ein Paar Taylorreihen, welche die Sinus- und die Kosinus-Funktionen darstellen. Dies führt zu folgenden Ergebnissen:

    Daraus folgt, dass man e ix durch sin x und cos x ausdrücken kann:
    e ix = cos x + i sin x
    Die Euler’sche Identität enthält den Ausdruck e i π , den man nun berechnen kann, indem man x durch π ersetzt:
    e i π = cos π + i sin π
    In diesem Zusammenhang ist π ein Winkelmaß in Bogenmaß, wobei gilt: 360° = 2π Bogenmaß. Damit gilt: cos π = −1 und sin π = 0. Daraus folgt:
    e i π = −1
    Damit gilt:
    e i π + 1 = 0
    Professor Keith Devlin, ein britischer Mathematiker an der Stanford University und Autor des Blogs Devlin’s Angle schrieb: »Die Sonette Shakespeares bringen die wahre Natur der Liebe zum Ausdruck, ein Gemälde bringt die Schönheit der menschlichen Gestalt zum Vorschein, und ebenso berührt die Euler’sche Formel die verborgensten Bereiche der Existenz.«

ANHANG 3
DR. KEELERS FORMEL FÜR
QUADRATZAHLEN
SUMMEN
    In einem Interview mit Dr. Sarah Greenwald von der Appalachian State University erzählte Ken Keeler die folgende Geschichte über seinen Vater, Martin Keeler, der intuitiv an die Mathematik heranging:
    Den größten Einfluss auf mich hatte mein Vater, der Arzt war … Er besaß nur Anfängerkenntnisse in Analysis, aber ich erinnere mich, dass ich ihn eines Tages fragte, was die Summe der ersten n Quadrate wäre, und er kam innerhalb weniger Minuten auf die Formel:

    Ich bin immer noch erstaunt, dass er es nicht auf dem geometrischen Weg gemacht hat (wie man die