Homers letzter Satz: Die Simpsons und die Mathematik (German Edition)

Summe der ersten n natürlichen Zahlen normalerweise herleiten würde) oder durch einen Induktionsbeweis. Er ging davon aus, dass die Formel ein kubisches Polynom mit unbekannten Koeffizienten war, und fand dann die Koeffizienten durch ein System aus vier linearen Gleichungen heraus, die er aufstellte, indem er die ersten vier Summen von Quadratzahlen berechnete. (Und er löste sie von Hand ohne Determinanten.) Als ich ihn fragte, woher er wusste, dass die Formel ein kubisches Polynom sein würde, antwortete er: »Was sollte sie denn sonst sein?«

ANHANG 4
FRAKTALE UND FRAKTALE DIMENSIONEN
    Fraktale sind Muster, die in jedem Vergrößerungsgrad aus selbstähnlichen Strukturen bestehen. Man kann ein solches Muster also in jeder Auflösung betrachten und trifft immer wieder auf dieselbe Grundmuster. Selbstähnliche Strukturen gibt es auch in der Natur, wie der Vater der Fraktale Benoît Mandelbrot feststellte: »Ein Blumenkohl ist ein Beispiel für ein Objekt, das aus vielen Teilen besteht, die jeweils aufgebaut sind wie die ganze Pflanze, nur in kleinerem Maßstab. Viele Pflanzen haben eine solche Struktur. Eine Wolke besteht aus übereinander gelagerten Schwaden, die alle aussehen wie Wolken. Wenn man sich einer Wolke nähert, sieht man kein glattes Objekt, sondern Unregelmäßigkeiten in kleinerem Maßstab.«
    Fraktale zeichnen sich außerdem dadurch aus, dass sie fraktale Dimensionen aufweisen. Um eine Vorstellung davon zu bekommen, was eine fraktale Dimensionalität bedeutet, betrachten wir ein besonderes fraktales Objekt, das Sierpinski-Dreieck, das nach dem folgenden Prinzip konstruiert ist:
    Man nehme zunächst ein Dreieck und schneide in der Mitte ein ebensolches Dreieck heraus. Man erhält dann das erste Dreieck im Bild unten. Aus den verbleibenden drei Teildreiecken schneidet man jeweils ein mittleres Dreieck heraus und erhält so das zweite Muster. Wieder entfernt man die mittleren Dreiecke und bekommt so das Dreiecksgerüst im dritten Bild. Wenn man diesen Vorgang unendlich oft wiederholt, erhält man irgendwann das vierte Muster als Endergebnis: das Sierpinski-Dreieck.

Man bekommt einen Begriff von Dimensionalität, wenn man betrachtet, wie sich die Fläche von Objekten verändert, wenn sich ihre Längen verändern. Wenn man bei einem zweidimensionalen Dreieck die Seitenlängen verdoppelt, vervierfacht sich die Fläche des Dreiecks. Tatsächlich vervierfacht sich die Fläche jeder zweidimensionalen Figur, wenn man die Länge ihrer Seiten verdoppelt. Doch wenn man die Seitenlänge des grauen Sierpinski-Dreiecks oben verdoppelt und so das größere Sierpinski-Dreieck unten konstruiert, vervierfacht sich die Fläche nicht.
    Wenn man die Seiten um den Faktor 2 verlängert, vergrößert sich die Fläche des Sierpinski-Dreiecks um den Faktor 3 (nicht 4), weil das größere Dreieck aus nur drei Exemplaren des ursprünglichen grauen Dreiecks zusammengebaut werden kann. Diese überraschend niedrige Wachstumsrate bei der Fläche ist ein Hinweis darauf, dass das Sierpinski-Dreieck nicht wirklich zweidimensional sein kann. Ich werde hier nicht genauer auf die mathematischen Details eingehen, aber das Sierpinski-Dreieck hat die Dimension 1,585 (genauer gesagt ist es die Dimension log 3/log 2).

    Eine Dimension von 1,585 klingt unsinnig, aber angesichts des Konstruktionsprozesses, der zu einem Sierpinski-Dreieck führt, ergibt es durchaus Sinn. Am Anfang des Prozesses steht ein massives zweidimensionales Dreieck mit offensichtlich jeder Menge Fläche. Wenn man aber immer wieder die mittleren Dreiecke entfernt – unendlich oft –, dann hat das fertige Sierpinski-Dreieck etwas von einem Netz aus eindimensionalen Fasern oder sogar einer Ansammlung nulldimensionaler Punkte.

ANHANG 5
DAS KEELER’SCHE THEOREM
    »Sweet« Clyde Dixons Beweis des Keeler’schen Theorems (auch bekannt als das Futurama -Theorem) erscheint auf einer leuchtend grünen Tafel in »Im Körper des Freundes«. Der folgende Text ist eine Transkription des Beweises:
    Zunächst sei π ein beliebiger k -Zyklus auf [ n ] = {1, …, n }; schreibe ohne Beschränkung der Allgemeinheit:

    Sei der Tauschvorgang der Inhalte von a und b mit 〈 a, b 〉 bezeichnet.
    Bekanntlich wird π durch verschiedene Tauschvorgänge auf [n] erzeugt. Füge zwei »neue Körper« { x, y } hinzu und schreibe:

    Sei σ die von links nach rechts zu lesende Reihe von Tauschvorgängen:
    σ = 〈y, 1〉〈x, k〉〈y, k〉〈x, k − 1〉…〈x, 2〉〈x, 1〉
    Beachte, dass