Hyperspace: eine Reise durch den Hyperraum und die zehnte Dimension ; [Einsteins Rache]

leicht zu verstehen. Riemann begann mit dem berühmten Lehrsatz des Pythagoras, einer der wichtigsten griechischen Entdeckungen in der Mathematik. Der Lehrsatz legt die Beziehung zwischen den Längen der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks fest: Danach ist die Summe der Quadrate über den kleineren Seiten gleich dem Quadrat über der längsten Seite, der Hypothenuse; das heißt, wenn a und b die Längen der beiden kurzen Seiten sind und c die Länge der Hypotenuse ist, dann ist a 2 + b = c 2 . (Der Satz des Pythagoras ist natürlich die Grundlage der gesamten Architektur; jedes Bauwerk auf diesem Planeten folgt seinen Gesetzen.)
    Ohne Schwierigkeiten läßt sich der Lehrsatz auf den dreidimensionalen Raum übertragen: Die Summe der Quadrate von drei anliegenden Kanten eines Würfels sind gleich dem Quadrat der Diagonale; wenn also a, b und c die Kanten eines Würfels sind und d seine Diagonalenlänge ist, dann gilt a 2 + b 2 + c 2 = d (A bbildung 2.1).
       Dieser Fall läßt sich nun leicht für «-Dimensionen verallgemeinern. Stellen wir uns einen «-dimensionalen Würfel vor. Wenn a, b, c… die Kantenlängen des »Hyperwürfels« sind und z die Länge der Diagonalen ist, dann ist a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + … = z 2 . Obwohl sich unser Gehirn kein Bild von einem n-dimensionalen Würfel machen kann, läßt sich die Formel zur Berechnung seiner Seiten ganz leicht entwickeln. (Das ist im Hyperraum oft zu beobachten. Die mathematische Behandlung des n-dimensionalen Raums ist nicht schwieriger als die des dreidimensionalen Raums. Es ist wirklich verblüffend, daß sich auf einem flachen Stück Papier die Eigenschaften höherdimensionaler Objekte mathematisch beschreiben lassen, von denen sich unser Gehirn keinerlei anschauliche Vorstellung machen kann.)

    Abbildung 2.1. Die Länge einer Diagonale im Würfel ergibt sich aus der dreidi- mensionalen Spielart des pythagoreischen Satzes: a 2 + b + c = d 2 . Diese Gleichung läßt sich leicht auf die Diagonale eines Hyperwürfels in n Dimensionen übertragen. Obwohl sich höhere Dimensionen also bildlich nicht vorstellen lassen, kann man n Dimensionen mathematisch unschwer darstellen.
    Anschließend überträgt Riemann diese Gleichungen auf Räume mit einer beliebigen Zahl von Dimensionen. Sie können flach oder gekrümmt sein. Sind sie flach, so gelten die üblichen Axiome des Euklid: Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten ist eine gerade Linie, Parallelen schneiden sich niemals, und die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad. Doch Riemann stellte außerdem fest, daß Flächen eine »positive Krümmung« haben können, wie es etwa bei der Fläche eines Kreises der Fall ist, wo sich Parallelen immer schneiden und wo die Winkelsumme eines Dreiecks 180 Grad überschreiten kann. Flächen können aber auch eine »negative Krümmung« aufweisen, so zum Beispiel satteloder trompetenförmige Flächen. Unter solchen Bedingungen beträgt die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks weniger als 180 Grad. Sind eine Linie und ein nicht auf dieser Linie gelegener Punkt gegeben, so läßt sich eine unendliche Zahl von Parallelen durch den Punkt zeichnen (Abbildung 2.2).
       Riemann wollte ein neues Objekt in die Mathematik einführen, mit dessen Hilfe sich alle Flächen, ganz gleich wie kompliziert sie sind, beschreiben lassen. So mußte er geradezu zwangsläufig auf Faradays Feldkonzept zurückgreifen.
       Faradays Feld ist, wir erinnern uns, wie das Feld eines Bauern, das eine Region im zweidimensionalen Raum einnimmt. Allerdings liegt Faradays Feld im dreidimensionalen Raum. Jedem Punkt im Raum weisen wir eine Reihe von Zahlen zu, die die magnetische oder elektrische Kraft an diesem Punkt beschreiben. Dagegen wollte Riemann an jedem Punkt im Raum eine Reihe von Zahlen einführen, die angeben sollten, wie er verworfen oder gekrümmt ist.
       Bei einer gewöhnlichen zweidimensionalen Fläche gab Riemann beispielsweise für jeden Punkt drei Zahlen an, die die Krümmung dieser Fläche vollständig beschreiben. Für vier räumliche Dimensionen, so fand Riemann heraus, brauchen wir an jedem Punkt zehn Zahlen, um seine Eigenschaften zu beschreiben. Der Raum kann noch so zerknittert oder verformt sein, diese zehn Zahlen reichen aus, um alle Informationen über den Raum zu verschlüsseln. Bezeichnen wir diese zehn Zahlen durch die Symbole g 11 , g 12 , g 13 , … (Bei der Untersuchung eines vierdimensionalen Raums kann der untere Index eine Zahl zwischen eins