Hyperspace: eine Reise durch den Hyperraum und die zehnte Dimension ; [Einsteins Rache]

und vier annehmen.) Dann lassen sich Riemanns zehn Zahlen symmetrisch anordnen, wie Abbildung 2.3 zeigt. Es sieht so aus, als gäbe es 16 Glieder. Doch da g = g 21, g = g ist, handelt es sich tatsächlich nur um zehn unabhängige Glieder.) Heute bezeichnet man diese Zahlengruppe als Riemannschen Maßtensor. Grundsätzlich ist die Verformung des Papierblattes um so größer, je größer der Wert des Maßtensors. Das Blatt Papier kann noch so verknittert sein, mit dem Maßtensor steht uns ein einfaches Mittel zur Verfügung, um seine Krümmung an jedem Punkt zu messen. Würden wir das zerknitterte Blatt vollständig glätten, so kämen wir wieder auf den Satz des Pythagoras zurück.
       Dank seines Maßtensors war Riemann in der Lage, ein leistungsfähiges Instrument zur Beschreibung von Räumen jeglicher Dimension mit beliebiger Krümmung zu entwickeln. Zu seiner Überraschung stellte er fest, daß alle diese Räume eindeutig definiert und in sich schlüssig sind. Früher glaubte man nämlich, es müßten schreckliche Widersprüche zutage treten, wenn man die verbotene Welt höherer Dimensionen erforschte. Erstaunt stellte Riemann fest, daß er keinen einzigen fand. Tatsächlich war es fast trivial, seine Arbeit auf einen n-dimensionalen Raum zu übertragen. Der Maßtensor entsprach dann nämlich den Quadraten eines Schachbretts von der Größe n x n. Das wird seine weitreichende physikalische Bedeutung offenbaren, wenn wir in den nächsten Kapiteln die Vereinigung aller Kräfte erörtern.
       (Wie wir sehen werden, besteht das Geheimnis der Vereinigung darin, daß wir Riemanns Metrik auf einen n-dimensionalen Raum übertragen und sie dann in rechteckige Stücke zerlegen. Jedes rechteckige System entspricht einer anderen Kraft. So können wir die verschiedenen Naturkräfte beschreiben, indem wir sie wie die Teile eines Puzzles in den Maßtensor einpassen. Damit haben wir den mathematischen Ausdruck für das Prinzip, daß der höherdimensionale Raum die Naturgesetze vereinigt, das heißt, daß »genügend Platz« ist, um sie im n-dimensionalen Raum zu vereinigen. Genauer: In Riemanns Metrik ist »genügend Platz«, um die Naturkräfte zu vereinigen.)
       Noch eine weitere Entwicklung in der Physik nahm Riemann vorweg. Als einer der ersten hat er mehrfach zusammenhängende Räume, oder Wurmlöcher, untersucht. Wir können uns ein Bild von diesem Konzept machen, indem wir zwei Bögen Papier nehmen und sie übereinanderlegen. Jedes schneiden wir nun mit einer Schere ein kurzes Stück ein. Dann kleben wir die Bögen an den Einschnitten zusammen (Abbildung 2.4). (Topologisch entspricht das Abbildung 1.1, nur daß der Hals des Wurmlochs die Länge null hat.)

    Nullkru¨mmung

    Positive Kru¨mmung

    Negative Kru¨mmung

    Abbildung 2.2. Eine Ebene hat keine Krümmung. In der euklidischen Geometrie beträgt die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grad, und Parallelen schneiden sich nie. In der nichteuklidischen Geometrie hat eine Kugel eine positive Krümmung. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist größer als 180 Grad, und Parallelen schneiden sich immer. (Parallelen umfassen Bogen, deren Mittel- punkte mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammenfallen. Das schließt Breitenkreise aus.) Ein Sattel hat eine negative Krümmung. Die Summe der Innenwinkel beträgtweniger als 180 Grad. Zu einer gegebenen Linie gibt es eine unendliche Zahl von Parallelen durch einen bestimmten Punkt.

    Abbildung 2.3. Riemanns Maßtensor enthält alle Informationen, die erforderlich sind, um einen gekrümmten Raum in n Dimensionen mathematisch zu beschrei- ben. Man braucht 16 Zahlen, um den Maßtensor für jeden Punkt im vierdimensio- nalen Raum zu bestimmen. Diese Zahlen lassen sich in einer quadratischen Matrix anordnen (sechs dieser Zahlen sind redundant; insofern hat der Maßtensor zehn unabhängige Zahlen).

    Wenn auf dem Bogen ein Wurm lebt, könnte er eines Tages zufällig in den Einschnitt geraten und sich auf dem unteren Blatt wiederfinden. Das wird ihn verwirren, weil alles am falschen Platze ist. Nach vielen vergeblichen Versuchen stellt er fest, daß er in seine Herkunftswelt zurückkehren kann, indem er sich wieder in den Einschnitt begibt. Wenn er um den Einschnitt herumgeht, sieht die Welt normal aus; doch wenn er versucht, eine Abkürzung durch den Einschnitt zu nehmen, bekommt er Probleme.
       Der Riemannsche Schnitt ist ein Beispiel für ein Wurmloch (nur daß es die Länge null aufweist), das zwei Räume