Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

bilden. Damit das gelingt, muss man wissen, dass zwei verschiedene Ausdrücke den gleichen Wert haben. Rutscht der Dame etwa heraus, dass ihr Sohn 20 ist, wissen Sie, dass (x – 30) = 20 ist, und Sie können eine Gleichung aufschreiben: x – 30 = 20. Diese Gleichung hat nur noch eine Lösung, 50.
    Allerdings führen nicht alle Gleichungen zu eindeutigen Lösungen. Man kann sich Gleichungen ausdenken, die beliebig viele richtige Lösungen haben. x 2 = 16 etwa hat zwei Lösungen (4 und – 4), (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0 hat drei Lösungen (1, 2 und 3) und x = x hat unendlich viele Lösungen.
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    Der Swimmingpool des Hotels im Wildreservat Akagera muss aufgefüllt werden, doch die Wasserleitungen wurden wieder mal von einem wild gewordenen Elefanten zerstört. Wenn das Personal zusammen hilft, füllt es den Pool mit einer Rate von 20 Litern pro Minute. Formulieren Sie den Füllstand des Pools, wenn zu Beginn der Aktion noch 2000 Liter im Pool waren und das Auffüllen über m Minuten geht.
    Bis jetzt habe ich nur über Terme und Gleichungen mit lediglich einer Unbekannten gesprochen. Dabei lassen sich problemlos Terme mit zwei oder mehr Unbekannten formulieren. Die Dame könnte Ihnen beispielsweise erzählen, dass die Zahl der
Eisbecher, die sie in ihrem Leben gegessen hat, dem kombinierten Alter von ihr und ihrem Mann entspricht. Wenn man nun ihr Alter mit x notiert und das Alter ihres Manns mit y, dann entspricht die Zahl der Eisbecher der Summe x + y. Verrät sie dann noch, dass sie 80-mal Eis gegessen hat, kann man die Gleichung x + y = 80 hinschreiben. Diese Gleichung nennt man unterbestimmt, weil es eine unendliche Zahl an möglichen Kombinationen von x und y gibt. Die Dame könnte wie ihr Mann 40 Jahre alt sein, das Paar könnte aber auch 39 und 41 sein oder 100 und – 20 oder 79½ und ½, wobei einige dieser Kombinationen physisch unmöglich oder gesetzlich verboten sind.
    Um die Werte von x und y eindeutig zu bestimmen, brauchen Sie mehr Informationen. Vielleicht verrät Ihnen die Dame, dass sie 20 Jahre älter ist als ihr Mann. Dann können Sie die Gleichung x – y = 20 hinschreiben. Nun haben Sie zwei Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Das nennt man ein Gleichungssystem. In unserem Beispiel haben wir genug Informationen, um x und y zu finden, aber das trifft nicht notwendigerweise für jedes Gleichungssystem zu. Auch Gleichungssysteme können unterbestimmt sein. Allgemein gilt: Wenn man zwei Variablen hat, braucht man mindestens zwei Gleichungen, in denen sie vorkommen. Bei drei Variablen braucht man mindestens drei Gleichungen usw.
    Hat man erst einmal die Idee gehabt, eine unbekannte Zahl durch ein Symbol zu repräsentieren, steht mal als Nächstes vor dem Problem, wie man damit umgeht. Die Geschichte der elementaren Algebra besteht aus den verschiedenen Erfindungen und Verbesserungen, die verschiedene Kulturen sich einfallen ließen, um mit Termen und Gleichungen umzugehen.
    Einige Methoden wurden über Bord geworfen, nachdem bessere erfunden worden waren, und dafür werden Sie in den nächsten Kapiteln ein paar Beispiele finden. Die Methoden, die sich durchgesetzt haben, bilden das Rückgrat dessen, was heute
in der Schule gelehrt wird. Bestimmt erinnern Sie sich noch an Anweisungen wie: »Immer auf beiden Seiten das Gleiche machen!«, »Über Kreuz multiplizieren!«, »Klammern auflösen, indem man alle Summanden in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer malnimmt!« usw. Diese »Gesetze« der Algebra sind das Problem. Sie bilden eine Abfolge logischer Schritte, die zur Lösung einer Gleichung oder zur Vereinfachung eines Terms führen – doch oft ist nicht klar, welche Logik dahintersteckt. Deshalb wirken sie oft wie die willkürlichen Befehle eines gefühllosen Despoten, der es nur darauf abgesehen hat, Sie dasitzen und seitenweise Symbole kritzeln zu lassen. Im Folgenden versuche ich klarzumachen, dass all die Regeln der Algebra, sowohl die inzwischen nicht mehr gebräuchlichen als auch diejenigen, die Mr. Barton seinen Schülern beibringt, auf Erkenntnissen über die Funktionsweise von Zahlen im Allgemeinen beruhen.
     
    Das Prinzip »Qual« steckt schon im Ausdruck »Algebra« selbst. Unser deutsches Wort Algebra stammt vom arabischen »al-dschabr« , das al-Chwarizmi als Fachausdruck im Zusammenhang mit der Lösung von Gleichungen benutzte. »al-dschabr« nannte er den Vorgang, einen Term von einer Seite der Gleichung auf die andere zu bringen. Nehmen Sie die