Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

und bekommt 8x – 3x = (3x – 24) – 3x. Da es keine Rolle spielt, ob man erst 24 von 3x abzieht und dann 3x oder ob man 3x von 3x abzieht und dann 24 subtrahiert, gilt:
    (3x – 24) – 3x = (3x – 3x) – 24 = 0–24 = – 24
    Auf der linken Seite bekommen wir 8x – 3x = 5x
     
    und die ganze Gleichung wird zu 5x = – 24.
     
    Zum Schluss dividiert man beide Seiten durch 5 und erhält 5x/5 = – 24/5.
     
    Wenn man aber 5x unter 5 Leuten aufteilt, bekommt jeder x. Also: 5x/5 = x. Deshalb gilt:
    x = – 24/5
    Sie haben x isoliert; die Gleichung ist gelöst.
     
    Ich habe den Lösungsweg für dieses Beispiel viel ausführlicher erklärt, als Lehrbücher oder Mathelehrer das normalerweise tun,
und vieles von dem, was ich geschrieben habe, mag offensichtlich erscheinen. Doch ich wollte zeigen, dass die Methoden für jede Phase der Lösung von Gleichungen auf grundsätzlichen Prinzipien beruhen, wie Zahlen funktionieren. Es mag selbstverständlich scheinen, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge man drei Zahlen multipliziert. Für Subtraktionen gilt diese Regel aber zum Beispiel schon wieder nicht: 9 – (2–1) ist nicht das Gleiche wie (9–2) – 1, wobei die Klammern anzeigen, welche Subtraktion man zuerst durchführen soll.
    56.
    Sie stellen fest, dass doppelt so viel vom Tag noch übrig bleibt, wie schon vergangen ist. (Ein Tag ist vierundzwanzig Stunden lang und beginnt um Mitternacht.) Wie spät ist es?
    Die Lösung linearer Gleichungen ähnelt der Bewegung durch ein Labyrinth. Es gibt mehr als einen Weg zum Ziel, aber nur einer der Pfade ist der direkteste. Bei der obigen Aufgabe haben wir die Schritte in einer bestimmten Reihenfolge durchgeführt, um uns größere Unannehmlichkeiten zu ersparen. Nun weiß ich aber, dass Menschen gern das Gefühl haben, sie hätten im Leben Wahlmöglichkeiten. Deshalb stelle ich hier einen alternativen Lösungsweg vor:
    8(x + 3) = 3x
(über Kreuz multiplizieren wie zuvor)
(auf beiden Seiten durch 8 teilen)
(vereinfachen)
(auf beiden Seiten 3 subtrahieren)
(vereinfachen)
(auf beiden Seitensubtrahieren)
(vereinfachen)
    Diese Vereinfachung ist diffizil; deswegen ist dieser Lösungsweg insgesamt auch schwieriger als der zuerst vorgestellte. Man muss drei Achtel x von einem ganzen x abziehen. Ein x besteht aus acht Achteln. Wenn man von acht Achteln x drei Achtel x abzieht, bleiben fünf Achtel x:
    (beide Seiten mit 8 multiplizieren)
(vereinfachen)
(beide Seiten durch 5 dividieren)
(vereinfachen)
    Wir haben die gleiche Lösung bekommen wie zuvor, aber bei diesem Weg mussten wir mit komplizierten Brüchen operieren, die die Unbekannte enthielten. Das haben wir uns vorher gespart.
     
    Beim Lösen von linearen Gleichungen unterlaufen einem schnell Fehler, denn die Regeln im Umgang mit Platzhaltern sind nicht leicht zu befolgen. So scheint etwa der folgende Ablauf absolut vernünftig:
    (auf beiden Seiten 6 subtrahieren)
(vereinfachen)
    Wenn Sie ab hier aber weitermachen, kommen Sie in Teufels Küche. Irgendwo muss etwas falsch gelaufen sein.
    Es ist absolut okay, auf beiden Seiten 6 abziehen zu wollen, doch beim Vereinfachen stimmt etwas nicht. Wir haben aus dem Termeinfach die Sechs gekürzt, weil doch 6–6 = 0.
     
    So geht es aber nicht! Denn die erste Sechs steht ja nicht allein – sie wird durch x geteilt. In diesem Fall können Sie nicht sicher sein, dass die von Ihnen ausgeführte Operation den allgemeinen Rechenregeln entspricht.

    57.
    Ein Fischer versucht verzweifelt, sein Geschäft anzukurbeln. Deswegen wirbt er mit folgendem Angebot: An Tagen, an denen er etwas gefangen hat, verkauft er den Fisch für 3 Euro. An Tagen jedoch, da er nichts gefangen hat, zahlt er dem Kunden 2 Euro für seine Mühe, vergeblich ins Geschäft gekommen zu sein. Leider ist der Fischer nicht besonders fähig, und den folgenden Monat fängt er nie mehr als einen Fisch am Tag. Am Ende des Monats (der dreißig Tage hatte) zieht er Bilanz und stellt fest, dass er ebenso viel Geld ausgezahlt wie eingenommen hat. Daraufhin hängt er seine Angel an den Nagel und wird Investmentbanker. An wie vielen Tagen hat er einen Fisch gefangen?

3 Alle Vorzeichen ändern
    Eine der Rechenregeln, die immer wieder für Verwirrung sorgt, ist diejenige, wie man einen Klammerausdruck von einer Zahl subtrahiert. Die dazugehörige Regel lautet, wenn man einen Term oder eine Gleichung hat, in der es notwendig ist, einen Klammerausdruck zu subtrahieren, entfernt man die Klammern und ändert das Vorzeichen