Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

zu Beginn des zehnten Jahres einzahlt, verdienen nur einmal Zinsen.

    Die Aufgabe besteht nun darin, auszurechnen, wie viel Geld am Ende des zehnten Jahres auf diesen zehn Konten liegt. Beschleunigen können Sie die Berechnung mit der Zinseszinsformel, die wir oben hergeleitet haben:
    Investierter Betrag (in Euro)
Anlagezeitraum (in Jahren)
Kontostand am Ende (in Euro)
1000
10
1000 · 1,05 10 = 1628,89
1000
9
1000 · 1,05 9 = 1551,33
1000
8
1000 · 1,05 8 = 1477,46
1000
7
1000 · 1,05 7 = 1407,10
    Nach zehn Jahren liegen auf dem Konto, das zu Anfang des ersten Jahres eröffnet wurde, 1628,89 Euro, auf dem Konto vom zweiten Jahr 1551,33 Euro, auf dem Konto vom dritten Jahr 1477,46 Euro und so weiter. Ähnliche Berechnungen lassen sich für alle später eröffneten Konten anstellen. Die Gesamtsumme auf allen Konten erhält man danach durch schlichte Addition. Sie sollten dabei auf eine Summe von 13.207 Euro kommen.
    Diese Technik lässt sich auf jeden Sparplan dieser Form anwenden; man kann sogar eine Formel für den Endbetrag in einem solchen System nach jedem beliebigen Zeitraum herleiten (die Herleitung ist allerdings nicht ganz einfach). S sei die jährlich investierte Summe, x der Zinssatz und n die Zahl der Jahre, in denen man in den Sparplan einzahlt. Der Gesamtbetrag am Ende von n Jahren ist dann:

    Überprüfen Sie doch mal anhand der Formel, ob das oben errechnete Ergebnis stimmt. Nur um zu verdeutlichen, eine wie
gute Idee es ist, regelmäßig zu investieren, vergleichen wir unseren Sparplan mit einer großen, aber einmaligen Investition. Bei dem Sparplan war der maximal investierte Betrag 10.000 Euro, und das nur im letzten (zehnten) Jahr. Am Ende des Anlagezeitraums hatten Sie 13.207 Euro auf dem Konto. Hätten Sie nicht regelmäßig gespart, sondern nur einmalig 10.000 Euro investiert, hätte dieser große Betrag erstaunlich lange liegen müssen, um einen ebensolchen Ertrag abzuwerfen wie der Sparplan, nämlich sechs Jahre. Das können Sie anhand der Formel für Zinseszins schnell überprüfen: 10.000 € · 1,05 6 = 13.401 €.
    49.
    Ein Zeitungsartikel berichtet, dass ein Mann bei einem Haiangriff 15 Prozent seines Beins verlor. Jetzt misst es nur noch siebzig Zentimeter. Wie lang war es vorher?
    Kontinuität und vorausschauendes Planen führen also zu gesunden Finanzen. Kombiniert man beides, kann man seine Kontoauszüge immer mit einem Lächeln betrachten. Nur zur Illustration: Angenommen, Sie hätten Ihren Sparplan zehn Jahre lang durchgehalten und regelmäßig 1000 Euro eingezahlt. Nach den zehn Jahren stellen Sie, zufrieden mit den gesunden schwarzen Zahlen auf Ihren Kontoauszügen, die Zahlungen ein und lassen nur noch Ihr Kapital für sich arbeiten. In anderen Worten: Sie lassen Zins und Zinseszins auf das Kapital von 13.207 Euro, das Sie nach Auslaufen des Sparplans auf dem Konto liegen lassen, einfach auflaufen.
    Ihre neue Mitbewohnerin hat die Unsitte, heimlich Ihre Post zu lesen (und sich nachts in Ihr Zimmer zu schleichen und Sie beim Schlafen zu beobachten). Deshalb weiß sie von Ihrem wachsenden Reichtum. Also beschließt sie, es Ihnen gleichzutun und jährlich 1000 Euro auf ein ähnliches Sparkonto einzuzahlen. Sie kann erst dann ruhig schlafen, wenn sie ebenso
reich ist wie Sie und die zehn Jahre aufgeholt hat, die Sie früher mit dem Sparen angefangen haben.
    Die folgende Tabelle zeigt an, wie viel Sie beide nach verschiedenen Zeiträumen auf Ihren jeweiligen Bankkonten stehen haben.
    Periode (in Jahren)
Wert Ihrer Investition (gerundet)
Wert der Investition Ihrer Mitbewohnerin (gerundet)
0
13.207
1.000
10
21.512
13.207
20
35.042
34.719
21
36.794
37.505
    Ihren Kontostand können Sie einfach mit der Zinseszins-Formel berechnen. Ihre Anfangsinvestition betrug 13.207 Euro, was nach 20 Jahren auf 13.207 · 1,05 20 oder 35.042 Euro angewachsen ist. Was Ihre Mitbewohnerin auf dem Konto hat, lässt sich nach der komplizierten Formel für Sparpläne mit jährlicher Einzahlung errechnen. Demnach beträgt nach 20 Jahren der Wert ihrer Investition:

    Ihre Mitbewohnerin musste insgesamt 21.000 Euro investieren, um mit Ihrem Vermögen gleichzuziehen, das Sie mit einer Investition von 10.000 Euro angehäuft haben. 21 Jahre lang hat sie wie besessen gespart und ständig mit einer Mischung aus Erregung und Angst auf den nächsten Kontoauszug gewartet. 21 Jahre lang musste sie sich demütigen und in Ihrem Papierkorb nach Unterlagen stöbern. Kurz: Sie hat 21 Jahre ihres Lebens vergeudet, weil sie