Liebe Mathematik, löse deine Probleme bitte selber - verblüffend einfache Lösungen für Mathematik im Alltag

multiplizieren? Warum muss man über Kreuz multiplizieren? Mr. Barton liefert mit seinem »Weil das so geht, Kinder, weil das so geht« auch keine gute Erklärung. Lieber nicht noch weiter nachfragen, sein Kopf färbt sich schon gefährlich rot!
    Das Lösen einer Gleichung ist wie ein Rätsel, bei dem es darum geht, die Unbekannte auf einer Seite zu isolieren, ohne die ungeschriebenen Gesetze der Zahlen zu verletzen. All die oben benannten Operationen entsprechen erlaubten Zügen in diesem perversen Spiel.
    Nehmen Sie diese komplizierte lineare Gleichung:

    Im Lauf der Zeit stellte sich heraus, dass man in solchen Fällen am besten erst mal über Kreuz multiplizierte, um die Brüche loszuwerden. »Über Kreuz multiplizieren« ist nur ein spezieller Fall von ordinärem »auf beiden Seiten das Gleiche tun«.
    »Auf beiden Seiten das Gleiche tun« ist heutzutage die Methode, die wir in der Schule am häufigsten einsetzen sollen. Sie beruht auf der Idee, dass die beiden Seiten einer Gleichung gleich sind. Wenn man also auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert oder subtrahiert, beide Seiten mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl dividiert, bekommt man hinterher immer eine Gleichung, bei der wieder beide Seiten in perfektem Gleichgewicht sind. Das Problem mit komplizierten Gleichungen wie der obigen besteht darin, dass jede Seite selbst ziemlich kompliziert ist. Man muss die Schritte stets in der richtigen Reihenfolge machen, sonst begibt man sich in immer tiefere und tiefere Gewässer.
    In unserem Beispiel ist über Kreuz multiplizieren der richtige erste Schritt. Eigentlich besteht er bereits aus zwei Schritten. Zuerst »macht man auf beiden Seiten das Gleiche«, indem
man beide Seiten mit vier multipliziert. Dadurch verschwindet der Bruch mit der Vier im Nenner.

    Beachten Sie: Wenn Sie beide Seiten mit vier multiplizieren, müssen Sie jede Seite als Einheit betrachten. Sie müssen das gesamte 2(x +3)/x mal vier nehmen und das gesamte 3/4 auch. Sie dürfen nicht einfach nur einen Teil einer Seite mit vier multiplizieren, außer Sie können beweisen, dass das eine erlaubte Operation darstellt. Beim Multiplizieren der linken Seite mit vier dürfen Sie also nicht einfach hergehen und nur die drei in der Klammer mit vier multiplizieren: 2[x + (4 · 3)]/x. Denn dann haben Sie nicht die GANZE linke Seite mit vier multipliziert, sondern nur einen Teil. Damit zerstören Sie das Gleichgewicht in der Gleichung.
    Die rechte Seite lässt sich vereinfachen, denn

    Unsere Gleichung lautet jetzt also:

    Als Nächstes macht man auf beiden Seiten das Gleiche, indem man beide Seiten mit x multipliziert. Bei solchen Operationen fühlen viele Menschen sich unwohl, schließlich weiß man doch nicht, was für eine Zahl x ist. Doch das spielt gar keine Rolle: Welchen Wert x auch immer hat, solange man nur beide Seiten der Gleichung mal x nimmt, sind hinterher beide Seiten weiterhin im Gleichgewicht. Außerdem entledigt man sich so dem Bruch mit x im Nenner:

    Dabei muss man jederzeit aufpassen, dass man keine Operation durchführt, die den Rechenregeln zuwider läuft. Da es aber bei drei miteinander zu multiplizierenden Zahlen unerheblich ist, in welcher Reihenfolge man sie malnimmt (also 3 · (4 · 5) = (3 · 4) · 5 = 5 · (4 · 3) = (4 · 3) · 5), lässt sich die linke Seite der Gleichung wie folgt vereinfachen:

    Die Gleichung lautet jetzt also 4 · 2(x + 3) = 3 · x
     
    Das lässt sich wiederum vereinfachen in:
    4 · 2(x + 3) = 4 · 2 · (x + 3) = 8 · (x + 3) = 8(x + 3).
    Also: 8(x + 3) = 3x.
     
    Mit Situationen wie dieser geht man nach allgemeiner Übereinkunft am besten um, indem man die Klammer auflöst. Dazu müssen wir alle Teile in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizieren. Der Grund dafür ist folgender:

    Diese Argumentation beruht auf den grundlegenden Wahrheiten über Multiplikation und Addition, aber wir brauchen sie, um absolut sicherzustellen, dass Sie keine unerlaubten Operationen durchführen. Jetzt wissen wir sicher, dass 8(x + 3) = (8 · x) + (8 · 3) = 8x + 24. Unsere umgeformte Gleichung lautet nun: 8x + 24 = 3x.
    Ab hier muss man nur noch ein paarmal »auf beiden Seiten das Gleiche tun«, um das x zu isolieren. Zuerst subtrahiert man auf beiden Seiten 24: (8x + 24) – 24 = 3x – 24.
    Natürlich ist (8x + 24) – 24 gleich 8x (denn die Zahl, die 24 weniger ist als die Zahl, die 24 mehr ist als 8x, ist 8x). Also 8x = 3x – 24.
    Dann subtrahiert man auf beiden Seiten 3x