MAGICA MATHEMATICA

Kreisfläche gefunden. Sie heißt ganz ähnlich:
     
     
    Ich kenne aber auch eine andere Idee: Du
kannst einen Kreis auch in unseren Freund das Parallelogramm verwandeln. Oder
besser gesagt, fast in ein Parallelogramm. Schneide den Kreis doch einfach in
Tortenstücke.“
    „In Tortenstücke? Und dann?“
     

     

    „Wenn du den Kreis in viele kleine
Tortenstücke schneidest, kannst du diese zu einem (Fast-) Parallelogramm
zusammenfügen. Die Höhe h a ist der Radius des Kreises, du
brauchst sie nur mitten in einem Tortenstück einzuzeichnen. Die Grundseite
dieses Parallelogramms ist

     

     

    also der halbe Umfang des Kreises.“
     
     

    „Gut, einverstanden. In wie viele
Tortenstücke soll ich den Kreis schneiden?“ – „In wie viele du willst! Je
schmäler du die Tortenstücke schneidest, desto mehr wird deine neue Figur einem
Parallelogramm ähnlich. Wie viele Tortenstücke du schneidest ist vollkommen
egal. Oh, nein, nicht ganz vollkommen egal: Wichtig ist, dass es eine gerade
Anzahl von Tortenstücken ist, also zehn oder zwölf oder auch vierzehn
Tortenstücke.“
    „Warum keine elf oder dreizehn
Tortenstücke?“, wundert sich Pedro. „Ganz einfach, weil du dann die
Tortenstücke nicht gerecht auf beide Seiten verteilen könntest, es würde kein
Parallelogramm entstehen.“
    „Gut, aber wie lange ist der halbe Umfang
eines Kreises? Oder überhaupt der Umfang eines Kreises?“, fragt Pedro.

 
    DIE ELFTE STUNDE

 
    „Der Umfang des Kreises ist
     
     

     

     
    der halbe Umfang dann entsprechend“,
sagt Carla.
    „Was ist?“,
fragt Pedro. - „Eine irrationale Zahl, die man etwa seit 300 Jahren als bezeichnet.
Man braucht sie einfach für alles, was kreisrund ist: Weinfässer, Räder, runde
Türme, die Erde und den Mond. Sie ist ein bisschen größer als 3. So ungefähr 3,
14“, erklärt Carla.
    „Kannst du mir das zeigen, dass ein
wenig größer als 3 ist?“, fragt Pedro.
    „Ein Grieche namens Archimedes hat schon
vor über 2000 Jahren entdeckt,
indem er das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser eines Kreises berechnet hat.
Dabei ging er ungefähr so vor: Du reißt dir ein quadratisches Blatt Papier,
faltest es zweimal genau auf die Hälfte und dann wieder auseinander. Jetzt hast
du wieder ein in vier Viertel geteiltes Blatt Papier. Durch das Falten hast du
jetzt auch den Mittelpunkt des Blattes. Diesen nimmst du als Mittelpunkt für
einen Kreis, der genau in das Quadrat passt. Du darfst den Zirkel jetzt aber
noch nicht zusammenklappen. Den brauchen wir später noch mal mit dem genau
gleichen Radius.“
     
     
    Pedro betrachtet die Skizze und stellt
folgendes fest:
    „Eine Seite des Quadrates ist genau
zweimal der Radius des Kreises.
    Der Umfang des Quadrates ist:
     
     

     
    oder:
     
     

     
     
    Wie groß der Kreisumfang ist, weiß ich
nicht, aber ich kann auf einen Blick sehen, dass er kürzer als der Umfang des
Quadrates ist.“
    „Genau, das hat Archimedes auch erkannt.
Sein nächster Schritt war, in den Kreis ein regelmäßiges Sechseck zu zeichnen.
Das geht ganz einfach: Jetzt brauchst du deinen noch offenen Zirkel mit dem
Radius des Kreises. Du stichst irgendwo auf der Kreislinie ein und kannst den
Radius genau sechs mal auf der Kreislinie abtragen. Jetzt hast du schon die
Eckpunkte für das Sechseck.
     
     

     
     
    Der Umfang des Sechsecks ist also:
     
     

     
     
    oder:
     

     
     
    Wie groß der Kreisumfang ist, weißt du
immer noch nicht, diesmal kannst du sehen, dass er größer als der Umfang des
Sechsecks ist.
    Vergleichen wir beide, können wir den Kreisumfang
schon ein wenig einschränken:
     
     
     
    Mit zunehmender Eckenzahl der Vielecke
lässt sich die Kreiszahlimmer
enger eingrenzen. Archimedes hat der Reihe nach 6 Ecken, 12 Ecken, 24 Ecken bis
hin zu 96 Ecken durchgerechnet.
    Als Zahlenwert für verwendete
er dann.
     Der Flächeninhalt eines Kreises ist also
nur näherungsweise zubestimmen, denn in der bekannten Formel ist
die Kreiszahl

    man kennt zwar viele hundert
Nachkommastellen von,
aber nicht alle .“

 
    DIE ZWÖLFTE STUNDE

Kathetensatz
     
    „Der Flächeninhalt des Kreises ist also
immer nur eine Annäherung“, stellt Pedro fest.
    „Genau mit diesem Problem haben sich schon
seit der Antike die Mathematiker beschäftigt. Immer wieder haben sie aus diesem
Grund versucht, ein Quadrat zu bestimmen, das genau dieselbe Fläche wie der
Kreis hat. Also zu einem gegebenen Kreis mit Zirkel und Lineal ein
flächeninhaltsgleiches Quadrat