MAGICA MATHEMATICA

auf halber Höhe kippe ich den oberen
Teil der Treppe nach unten“, sagt Pedro. Er schneidet das Dreieck entlang der
halben Höhe entzwei und fügt die beiden Teile zu einem Rechteck zusammen.

     
    „Prima! Jetzt ist der Flächeninhalt des
Dreiecks Grundseite mal halbe Höhe“, sagt Carla und schreibt die Formel an die
Tafel.

     
    „Diese Formel ist aber nicht wirklich neu.
Es ist nur eine andere Schreibweise der vorigen und spiegelt eben genau dein
Treppendreieck wieder.“
    „Aber das stimmt so nicht ganz“, zweifelt Pedro.
„Zum größten Streifen kommt der kleinste, zum zweitgrößten der zweitkleinste,
zum drittgrößten der drittkleinste und so geht das immer weiter. Die Grundseite
bleibt also nicht Grundseite, es kommt doch genau ein Karo dazu.“
    „Ja, genau genommen hast du ja Recht. Bei
zehn Karolängen Grundseite, wie in diesem Beispiel ist diese eine Karolänge
sehr viel. Du könntest das gleiche Treppendreieck aber auch in viel kleinere
Karos einteilen, sagen wir die Grundseite in hundert oder gar tausend
Karolängen. Dann wird die eine Karolänge, die dazu kommt immer unbedeutender.
Außerdem ist so ein Treppendreieck genau genommen ja auch kein richtiges
Dreieck. Lässt du die Stufen weg, stimmt es wahrscheinlich exakt“, behauptet Carla.
    „Gut! Probieren wir es doch einfach aus.
Wir nehmen das stumpfe Dreieck von vorhin, reißen es wie die Treppen auf halber
Höhe auseinander und kippen den oberen Teil um“, schlägt Pedro vor.
    „Um die halbe Höhe zu finden, falte ich
meinen Parallelstreifen genau auf die Hälfte, sodass er halb so schmal ist und
an dieser Faltlinie reiße ich ihn auseinander. Den oberen Teil, das kleine
Dreieck drehe ich dann nach unten. Ich lege also den oberen Streifen verkehrt
herum an den unteren.“
     
     
    „Ja stimmt, du drehst das kleine Dreieck
um die Seitenmitte von a um 180°“, formuliert es Carla mathematischer.
     
     
    „Oder du kannst es genauso um die
Seitenmitte von b um 180° drehen.
    Es entsteht immer ein Parallelogramm.“
     

     
     
    „Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist
gleichzeitig der Flächeninhalt des Dreiecks, weil das Dreieck nur zerlegt und
zum Parallelogramm neu zusammengesetzt wurde. Also brauche ich nur die Formel
für das Parallelogramm ablesen und habe gleichzeitig die des Dreiecks“, erklärt
Carla.
    „Ich bin absolut stolz auf uns. Jetzt haben
wir schon einen zweiten Beweis für die Flächenformel des Dreiecks gefunden.
Berechnen wir die Grundstücksgröße des abgesteckte Flurstück, wissen wir, was
wir tun und warum wir es so tun.“
    „Berechnen konnte ich so was schon lange.
Ich war mir zwar fast immer sicher, dass ich richtig vorgehe, aber ich hätte
niemals zeigen können, warum es richtig ist. Morgen ist der Tag der
Präsentationen, an dem wir unsere Ausarbeitungen der Öffentlichkeit vorstellen.
Die Aufgabenstellung schreibt vor, es sei wichtig, dass wir die spitzfindigsten
Fragen der Handwerkermeister oder Professoren verständlich und überzeugend
beantworten. Ich bin mir ganz sicher, dass wir dieses schaffen. Dank dir ist
mir heute zum ersten Mal klar geworden, warum ich den Flächeninhalt mit dieser
Formel berechne. Ich kann immer mehr daran glauben, dass wir vielleicht sogar
alles schaffen sogar diese Prüfung und an der Schule aufgenommen werden.“

 
    DIE SECHSTE STUNDE

Flächeninhalt
eines Trapezes
     
    2.         
Die
abgesteckte Fläche hat eine Trapezform.

     
     
    „Ein Trapez kenne ich vom Zirkus. Ist das
überhaupt ein Trapez? Es sieht doch aus, wie das vorige allgemeine Viereck“,
bemerkt Pedro.
    „Es ist aber ein Trapez, denn es ist ein
Viereck mit einem Paar paralleler Seiten“, antwortet Carla.
    „Ein Paar paralleler Seiten?“, versichert
sich noch mal Pedro. Er hat eine geniale Idee. „Gib mir einen Parallelstreifen
und eine Schere und ich schneide mit geschlossenen Augen Trapeze.“ Pedro
schneidet blind ein Trapez nach dem anderen. „Es ist ganz einfach. Der
Parallelstreifen ist mein Paar paralleler Seiten. Oben und unten verändere ich
nichts.“
     

 
     
    „Aber seitlich kann ich schneiden in
welche Richtung ich will. Alle Vierecke, die so entstehen, sind Trapeze. Siehst
du?“
    „Es sind wirklich immer Trapeze. Das
rechtwinklige,
    gleichschenklige oder allgemeine Trapez, das
Quadrat und das Rechteck.“
     
     
     
    „Oder die Raute und das Parallelogramm“,
staunt Carla.

     

     

     

     

     

    „Ein Dreieck? Ein Dreieck ist auch ein
Trapez“,