MAGICA MATHEMATICA

konstruieren. Ferdinand Lindemann hat
jedoch im Jahr 1882 die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises bewiesen.“
    „Ein flächeninhaltsgleiches Quadrat? Wie
kommen die überhaupt auf diese Idee?“, wundert sich Pedro.
    „Bei jedem x-beliebigen Rechteck ist es
aber ohne Probleme möglich, ein Quadrat mit gleicher Fläche zu konstruieren.“
    „Das ist ja spannend. Du musst mir zeigen,
wie das geht“, bettelt Pedro.
    „Für die Quadratur eines Rechtecks nutzt
man den Höhen- oder den Kathetensatz. Beides sind Sätze unseres berühmten Herrn
Pythagoras. Such dir einen aus. Lieber den Höhen- oder lieber den
Kathetensatz?“
    „Den Kathetensatz“, wünscht sich Pedro.
    „Zeichne das Rechteck, zu dem du ein
flächeninhaltsgleiches Quadrat finden willst. Stelle es ‚ hochkant’ auf
dein Papier. Die schmälere Breite des Rechtecks verlängerst du so weit in eine
Richtung, bis diese Strecke so lange wie die Länge des Rechtecks ist. Jetzt
hast du schon die Grundseite des rechtwinkligen Dreiecks, dass du jetzt
konstruieren wirst. Über diese Strecke schlägst du einen Thaleskreis. Die
längere Seite deines Rechtecks verlängerst du nach oben, bis du die Kreislinie
erreichst. Jetzt hast du den dritten Eckpunkt deines Dreiecks, wo auch der
rechte Winkel liegt. Die Dreiecksseite, die oberhalb deines Rechtecks liegt,
ergänzt du zu einem Quadrat.
     
     

     
     
    Dieses Quadrat ist dem Rechteck
flächeninhaltsgleich.“
    Pedro ist beeindruckt. Er hat aber gleich
zwei Fragen: „Warum ist es ein rechtwinkliges Dreieck? Und warum hat dieses
Quadrat den Flächeninhalt des Rechtecks?“
    „Warum, warum, warum ….. Du nervst. Wir
wissen, dass dieses Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, wie jedes andere Dreieck
im Halbkreis auch. Der Satz des Thales besagt: Jeder Winkel im Halbkreis ist
ein rechter. Oder wenn eine Dreiecksseite Kreisdurchmesser ist und der dritte
Eckpunkt auf dem Kreis liegt, so entsteht dort ein rechter Winkel .“
     
     
     
     
    „Wer ist überhaupt dieser Thales?“,
unterbricht Pedro Carla.
    „Der Naturphilosoph Thales aus der
griechischen Kolonie Milet in Kleinasien lebte um 650 bis 560 v. Chr. Er ist
einer der ´Sieben Weisen` Griechenlands und war viel auf Reisen. Einmal hat er
wohl die Höhe einer Pyramide in Ägypten dadurch gemessen, dass er den Schatten
der Pyramide zu dem Zeitpunkt gemessen habe, als sein eigener Schatten genauso
lang war wie er selbst. Er soll außerdem eine Sonnenfinsternis im Jahre 595 v.
Chr. vorausgesagt haben. „Das war ja ein interessanter Mensch. Aber mir ist
immer noch nicht klar, warum dieser Thales sich so sicher ist, dass das Dreieck
im Halbkreis ein rechtwinkliges Dreieck ist?“
    „Musst du wirklich alles ganz genau
wissen. Warum kannst du nichts glauben? Warum ist sich der Thales sicher? Ja
das weiß ich auch nicht mehr. Vielleicht können wir es ja herausfinden. Sehen
wir uns so einen Thaleskreis einmal ganz genau an.“
     
     
     
     
    „Alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen
auf dem Kreis. Der Mittelpunkt einer Dreiecksseite ist gleichzeitig Mittelpunkt
des Kreises“, stellt Pedro fest.
    „Punkte, die auf einem Kreis liegen haben
alle den gleichen Abstand zum Mittelpunkt dieses Kreises“, sagt Carla.
    „Für mich ist das irgendwie nur eine halbe
Sache. Wir könnten doch das Dreieck verdoppeln und drehen, dann hätten wir eine
symmetrische Figur“, schlägt Pedro vor.
    „Mmmmh, du meinst zu einem Parallelogramm
ergänzen? Oder wird es sogar ein Rechteck?“
     

     
     
     
    „Ja, es wird sogar zum Rechteck. Siehst
du, jetzt haben wir etwas Ganzes“, stellt Pedro zufrieden fest.
    „Jetzt sehe ich, warum dieser Winkel immer
ein rechter Winkel sein muss. Durch die Drehung des Dreiecks erhalten wir immer
ein Parallelogramm. Aber in diesem Fall sind wir uns ganz sicher, dass es immer
ein Rechteck geben muss, weil die Diagonalen nur gleich lang sein können,
nämlich zweimal der Radius.“
    Pedro überlegt sich, wie er feststellen
kann, dass das Quadrat und das Rechteck wirklich gleich groß sind.
    „Ich lege ein Mosaik daraus: Ich ergänze
das ganze erst mal zu so einer Figur.
     
     

     
     
    Diese drehe ich um 180° nach unten.
     
     

     
     
    Wir sind uns dann sicher, dass oben und
unten die gleiche Figur ist. Wenn ich es schaffe, auf der einen und der anderen
Seite die gleichen Teilstücke zu finden, bin ich mir sicher, dass auch das
Quadrat und das Rechteck gleich groß sind.“
    „Das hast du schon geschafft“, sagt