Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

und der Tatsache, dass ΔA und ΔB hier quadriert auftreten. Sie wollen hier die Heisenberg'sche Unschärferelation herleiten, die wie folgt aussieht:

    Okay, wie wandeln Sie also die linke Seite der Gleichung von <ΔA 2 > <ΔB 2 > in ΔAΔB um? Da eine frühere Gleichung Ihnen sagt, dass ΔA = A – ist, wissen Sie das folgende:

    Setzt man den Erwartungswert des letzten Terms in diese Gleichung ein, erhält man folgendes Ergebnis:

    Jetzt quadriert man die frühere Gleichung ΔA = ( – 2 ) 1/2 , um das folgende zu erhalten:

    Vergleicht man diese Gleichung mit der vorherigen, so kann man daraus schließen, dass:

    Klasse! Das Ergebnis besagt, dass <ΔA 2 ><ΔB 2 > ≥ 1 / 4 |<[A,B]>| 2 folgende Form annimmt:

    Diese Ungleichung besagt am Ende, dass

    Ausgezeichnet! Das Produkt zweier Unsicherheiten ist größer oder gleich der Hälfte des Absolutbetrags des Kommutators aus den jeweiligen Operatoren? Toll! Aber ist das die Heisenberg'sche Unschärferelation? Nun gut, werfen Sie noch einen Blick darauf. In der Quantenmechanik sieht der Impulsoperator wie folgt aus:

    Und der Impulsoperator in x-Richtung ist:

    Wie lautet also der Kommutator der Operatoren X (der immer die x-Position eines Teilchens angibt) und P x ? [X,P x ] = –i; damit erhält man aus ΔAΔB ≥ 1 / 2 |<[A,B]>| die folgende Gleichung (man beachte, dass Δx und Δp x hier die Unsicherheiten von x und p x sind und nicht die Operatoren):

    Mensch, das ist tatsächlich die Heisenberg'sche Unschärferelation! (Beachten Sie aber, dass Sie beim Herleiten der Formel nicht die physikalische Realität durch das Benutzen von abstrakter Mathematik bezwungen haben, sondern nur mithilfe einiger grundlegender Annahmen gezeigt haben, dass Sie die physikalische Welt nicht mit absoluter Genauigkeit messen können.)

Eigenvektoren und Eigenwerte: Natürlich sind sie eigenartig!
    Wenn Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben, wissen Sie, dass man einen neuen Ket erhalten kann, wenn man einen Operator auf einen Ket wirken lässt:

    Um die Sache leichter zu machen, kann man mit Eigenvektoren und Eigenwerten arbeiten. Beispielsweise ist |ψ> ein Eigenvektor des Operators A, wenn:
    die Zahl a eine komplexe Konstante ist
    A|ψ> = a|ψ>
    Man beachte, was hier passiert: Lässt man A auf einen seiner Eigenvektoren |ψ> wirken, so bekommt man |ψ> zurück, multipliziert mit dem Eigenwert a des Eigenvektors.
    Obwohl a eine komplexe Konstante sein kann, sind die Eigenwerte hermitescher Operatoren reele Zahlen, und ihre Eigenvektoren sind orthogonal (das bedeutet <ψ|φ> = 0).
    Das Leben wird viel einfacher, wenn man eine Aufgabe mithilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten berechnet, da das Anlegen eines Operators auf seine Eigenvektoren nur denselben Eigenvektor zurück gibt, multipliziert mit seinen Eigenwerten. Es tritt also kein vertrackter Wechsel der Zustände auf, und man muss nicht mit einem anderen Zustandsvektor rechnen.
    Um die Begriffe Eigenwerte und Eigenvektoren etwas näher zu erläutern, wird an dieser Stelle noch einmal der Operator W aus dem Würfelexperiment in Matrixform betrachtet (siehe den Abschnitt In großer Erwartung: Erwartungswerte bestimmen weiter vorne):

    Der Operator W wirkt im 11-dimensionalen Raum und ist hermitesch, deshalb gibt es 11 orthogonale Eigenvektoren und 11 entsprechende Eigenwerte.
    Da W eine Diagonalmatrix ist, ist es einfach, die Eigenvektoren zu bestimmen. Man kann zum Beispiel Einheitsvektoren in den 11 verschiedenen Richtungen als Eigenvektoren nehmen. Der erste Eigenvektor ξ 1 sieht folgendermaßen aus:

    Und so sieht der zweite Eigenvektor ξ 2 aus:

    Und so geht es weiter bis ξ 11 :

    Man beachte, dass die Eigenvektoren alle orthogonal sind.
    Und die Eigenwerte? Das sind Zahlen, die man erhält, wenn man den Operator W an einen Eigenvektor anlegt. Da die Eigenvektoren gerade Einheitsvektoren in allen 11 Dimensionen sind, sind die Eigenwerte die Zahlen in der Diagonale der Matrix W: 2, 3, 4 und so weiter bis 12.

Verstehen, wie sie funktionieren
    Die Eigenvektoren eines hermiteschen Operators bilden einen vollständigen Satz von orthonormalen Vektoren – das ist eine vollständige Basis im Zustandsraum. Von dieser aus Eigenvektoren bestehenden »Eigenbasis« aus betrachtet, ist der Operator in der Matrixform diagonal, und die Elemente entlang der Diagonalen der Matrix sind die Eigenwerte.
    Das ist einer der Hauptgründe dafür, warum das Arbeiten mit Eigenvektoren so nützlich ist. Ihr Ursprungsoperator mag