Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Impulsraum bzw. in einer anderen Basis angeben kann.
    Die Heisenberg'sche Matrizenmechanik ist ein Weg, mit der Quantenphysik umzugehen, und man benutzt sie am besten, wenn man mit physikalischen Systemen mit wohldefinierten Zuständen arbeitet, wie etwa dem harmonischen Oszillator. Die von Schrödinger entwickelte Wellenmechanik benutzt dagegen Wellenfunktionen, häufig im Ortsraum, um die Fragen der Quantenphysik mithilfe von Differentialgleichungen zu beantworten.

Teil II
    Gebunden, aber unbestimmt: Teilchen in gebundenen Zuständen
    In diesem Teil ...
    In diesem Teil erfahren Sie alles über eines des Lieblingsthemen der Quantenphysik: Die Bestimmung der Wellenfunktionen und Energieniveaus von Teilchen, in verschiedenen gebundenen Zuständen. Unter anderem werden wir Teilchen in einem Potentialtopf betrachten, was so etwas ist wie eine Erbse in einer Schachtel. Ein anderes Beispiel sind Teilchen, die harmonische Schwingungen ausführen. Die Quantenphysik beschreibt diese Situationen meisterhaft.

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    Gefangen in Potentialtöpfen
    In diesem Kapitel ...
    Potentialtöpfe
    Unendliche rechteckige Potentialtöpfe
    Bestimmung von Energieniveaus
    Teilchen in Potentialbarrieren
    Freie Teilchen
    Um den Umgang mit der zentralen Gleichung der Quantenmechanik zu üben, der Schrödinger-Gleichung, wird in diesem Kapitel die Wellenmechanik eindimensionaler Systeme behandelt. Diese Art von Systemen ist zum einen als einfaches Modell interessant, an dem man eine Reihe von Eigenschaften der Quantenphysik aufzeigen kann, die auch bei komplizierteren Fällen auftreten. Zum anderen sind sie von großer Bedeutung, weil man zahlreiche Probleme anhand geeigneter Umformungen auf Gleichungen in der Form der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung zurückführen kann.

In einen Potentialtopf schauen
    In diesem Kapitel wird zunächst die auf eine Dimension, die x-Richtung, beschränkte Bewegung eines Teilchens der Masse m in einem Potential V ( x ) untersucht. Die einfachste Art eines solchen Potentials ist ein Rechteckpotential , wie es in Abbildung 4.1 gezeigt wird. Das Potential macht bei x = 0 und x = a Sprünge, ist sonst aber konstant. Es gilt also:
    V(x) = ∞, für x < 0
    V(x) = 0, für 0 ≤ x ≥ a
    V(x) = ∞, für x > a
     
    Abbildung 4.1 : Ein rechteckiger Potentialtopf
    Man benutzt rechteckige Potentialtöpfe, um Teilchen einzufangen. Wenn man ein Teilchen mit einer begrenzten Energie in einen rechteckigen Potentialtopf steckt, bleibt es darin gefangen, da es das unendliche Potential an jeder Seite des Topfes nicht überwinden kann. Deshalb kann sich das Teilchen nur innerhalb des Potentialtopfes bewegen.
    Wie geht man nun bei der Untersuchung einer derartigen Problemstellung vor? Sie können sich dabei direkt an das in Kapitel 2 in dem Abschnitt »Wie geht man bei der Lösung eines quantenmechanischen Problems vor?« vorgestellte Konzept halten und die einzelnen Schritte nach und nach ausführen.
    1. Zunächst stellen Sie die Schrödinger-Gleichung auf; sie lautet:
    2. Anschließend bestimmen Sie den Hamilton-Operator. Im oben angegebenen Beispiel eines rechteckigen Potentialtopfes ist das Potential im Inneren des Topfes V(x) = 0. Daraus folgt die in diesem Fall zu lösende Schrödinger-Gleichung.
Danach arbeiten Sie Ihre Liste weiter ab:
    3. Randbedingungen bestimmen.
    4. Die Wellenfunktion bestimmen, die die Schrödinger-Gleichung unter diesen Randbedingungen erfüllt.
    5. Normierung der Wellenfunktion.
    6. Bestimmung der Energieeigenwerte.
    In den folgenden Abschnitten erfahren Sie zunächst noch einige allgemeine Informationen zu gebundenen Zuständen in Potentialtöpfen, und im Anschluss daran wird ausführlich erläutert, wie Sie diese Aufgabe und weitere ähnliche Probleme lösen.

Gebundene Teilchen in Potentialtöpfen
    Gebundene Zustände treten auf, wenn das Teilchen nicht in der Lage ist, sich in das Unendliche fortzubewegen – so einfach ist das. Mit anderen Worten, das Teilchen ist im Potentialtopf eingesperrt.
    Ein Teilchen, das sich in dem in Abbildung 4.2 gezeigten Potential bewegt, ist gebunden, wenn seine Energie E kleiner ist als V 1 und V 2 . In diesem Fall bewegt es sich zwischen x 1 und x 2 . Ein in einem solchen Topf gefangenes Teilchen wird durch eine Wellenfunktion beschrieben, und man kann die Schrödinger-Gleichung für die erlaubten Wellenfunktionen und die erlaubten Energiezustände lösen. Man muss zwei Randbedingungen benutzen (die Schrödinger-Gleichung ist eine Differentialgleichung zweiter