Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

ist der Trick; Sie können Ihre Rechnungen mithilfe rein symbolischer Terme durchführen, ohne dabei auf eine Basis festgelegt zu sein.
    Und wenn Sie sich tatsächlich mit den Komponenten des Kets befassen müssen, wenn Sie also physikalische Antworten wollen, dann können Sie die Kets in jeder Basis benutzen, indem Sie die Komponenten auf die Achsen der Basis übertragen. Man kann beispielsweise den Ket |ψ> in dem durch i , j und k beschriebenen Ortsraum betrachten. Diese sind Einheitsvektoren des Ortes entlang der x-, y- und z-Achsen; man muss jetzt nur die drei Komponenten von |ψ> entlang von i , j und k finden, um die neue Formulierung des Kets, |φ> genannt, zu erhalten. Das sieht im Allgemeinen folgendermaßen aus, wobei φ i Einheitsvektoren in der Basis sind, zu der man wechseln will:

Rechenregeln in der Ket-Schreibweise
    Mit der Ket-Schreibweise kann man sehr viel einfacher rechnen als in der Matrixform, da man auf einige mathematische Beziehungen zurückgreifen kann. Als Beispiel folgt hier die sogenannte Schwarz'sche Ungleichung für Zustandsvektoren:

    Sie besagt, dass das Quadrat des Absolutbetrags des Produkts zweier Zustandsvektoren – also |<ψ|φ>| 2 – kleiner oder gleich <ψ|ψ><φ|φ> ist. Es stellt sich heraus, dass diese Gleichung das Analogon zu folgender Vektorungleichung ist:

    Aber warum ist die Schwarz'sche Ungleichung so nützlich? Zum Beispiel, weil man die Heisenberg'sche Unschärferelation aus ihr ableiten kann, die wir ja schon in Kapitel 1 kennengelernt haben.
    Hier kommen noch einige weitere Beziehungen zwischen Kets, die Ihre Rechnungen deutlich vereinfachen können. Man sagt, zwei Kets |ψ> und |φ> sind orthogonal , wenn gilt:

    Zwei Kets heißen orthonormal , wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllen:

    Mit diesem Wissen im Hinterkopf sind Sie nun so weit, dass Sie mit Operatoren arbeiten können.

Sie bringen die Physik in's Spiel: Operatoren
    Eine der wichtigsten Grundlagen der Quantenphysik besteht darin, dass den Messgrößen der klassischen Physik in der Quantenmechanik Operatoren entsprechen. Sie kennen bereits einige der wichtigsten Operatoren, mit denen Sie in den folgenden Kapiteln arbeiten werden, wie etwa den Orts- und den Impulsoperator oder den Hamilton-Operator. Nach der Definition von Operatoren im Allgemeinen werden in den folgenden Abschnitten sowohl der Erwartungswert eines Operators definiert als auch verschiedene Eigenschaften dieser Größen zusammengestellt.

Arbeiten mit Operatoren
    Die allgemeine Definition für einen Operator in der Quantenphysik lautet: Ein Operator ist eine mathematische Vorschrift, die, wenn sie auf einen Ket |ψ> wirkt, diesen in einen neuen Ket |ψ′> im selben Raum überführt (das kann zum Beispiel der ursprüngliche Ket multipliziert mit einem Skalar sein). Wenn man einen Operator A hat, ändert dieser den Ket wie folgt:

    Der gleiche Operator kann auch auf Bras wirken:

    Hier folgen Beispiele für die verschiedenen Arten von Operatoren:
    Hamilton-Operator (H): Wenn man den Hamilton-Operator (der für jede physikalische Situation anders aussieht) auf einen Ket anwendet, dann erhält man die Energie E des Teilchens, das durch den Ket |ψ> beschrieben wird. E ist eine skalare Größe:
    Einheitsoperator (I): Der Einheitsoperator lässt den Ket unverändert:
    Gradient (∇): Der Gradient wirkt folgendermaßen:
    Impulsoperator (P): Der Impulsoperator sieht in der Quantenphysik folgendermaßen aus:
    Laplace-Operator (Δ): Man benutzt den Laplace-Operator, der ein Gradient zweiter Ordnung ist, um den Hamilton-Operator zu erzeugen, der die Energie bestimmt:
    Im Allgemeinen sind Operatoren nicht kommutativ; für die Operatoren A und B gilt: AB ≠ BA.
    Ein Operator A heißt linear, wenn:

In großer Erwartung: Erwartungswerte bestimmen
    Da in der Quantenphysik alle Werte in der Form von Wahrscheinlichkeiten angegeben werden, ist es sehr wichtig, Voraussagen machen zu können. Die wichtigste dieser Voraussagen ist der Erwartungswert. Der Erwartungswert eines Operators ist der Mittelwert, den man messen würde, wenn man zahlreiche Messungen durchführen würde. So ist beispielsweise der Erwartungswert für den Hamilton-Operator (siehe den vorangegangenen Abschnitt) die mittlere Energie des Systems, das betrachtet wird.
    Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert der Wahrscheinlichkeiten, dass das System sich in den verschiedenen möglichen Zuständen befindet. Man findet den Erwartungswert eines Operators