Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

Kommutators gilt:

    Man kann auch den Antikommutator {A,B} bestimmen:

Anti-hermitesche Operatoren
    Hier kommt eine neue Frage: Was kann man wohl über das hermitesch Adjungierte eines Kommutators zweier hermitescher Operatoren sagen? Hier kommt die Antwort. Zunächst schreibt man die Adjungierte:

    Die Definition des Kommutators sagt das Folgende:

    Man weiß, dass ( AB ) † = B † A † ist (siehe den früheren Abschnitt »Hermitesche Operatoren und ihre Adjungierten«; dort findet sich mehr über die Eigenschaften der Adjungierten). Damit folgt:

    Da für hermitesche Operatoren A = A † gilt, kann man das Zeichen † weg lassen:

    Aber BA – AB ist gerade –[A,B] und somit folgt:

    A und B sind hier hermitesche Operatoren. Wenn man das hermitesch Adjungierte eines Ausdrucks bildet und dieses genauso aussieht wie der ursprüngliche Ausdruck, nur mit einem negativen Vorzeichen, dann heißt dieser anti-hermitesch . Der Kommutator von zwei hermiteschen Operatoren ist also anti-hermitesch. (Und da wir gerade dabei sind, der Erwartungswert eines anti-hermiteschen Operators ist garantiert rein imaginär.)

Bei Null starten und bei Heisenberg enden
    Wenn Sie die letzten Abschnitte gelesen haben, kennen Sie nun hermitesche Operatoren und Kommutatoren. Aber wie arbeitet man damit? Man kann zum Bespiel die Heisenberg'sche Unschärferelation von Grund auf herleiten.
    Hier folgt nun eine Rechnung, die Sie, von wenigen grundlegenden Definitionen ausgehend, direkt zur Heisenberg'schen Unschärferelation führt. Diese Art der Rechnung zeigt, wie viel einfacher es ist, statt der Matrixschreibweise der Zustandsvektoren die nicht an eine Basis gebundenen Bras und Kets zu benutzen. In der Schule haben Sie sicherlich andere Rechenmethoden geübt, aber folgen Sie dieser einfach – zu wissen, wie man Kets, Bras, Kommutatoren und hermitesche Operatoren anwendet, wird in den nächsten Kapiteln entscheidend sein.
    Die Unsicherheit einer Messung des hermiteschen Operators A ist formal gegeben durch:

    Das besagt, dass ΔA gleich der Quadratwurzel aus der Differenz zwischen dem Erwartungswert von A 2 und dem Quadrat des Erwartungswertes von A ist. Wenn Sie sich jemals mit Statistik beschäftigt haben, sollte Ihnen diese Formel vertraut sein. Die Unsicherheit bei der Messung des hermiteschen Operators B lässt sich ebenso formulieren:

    Nun vergleicht man die beiden Operatoren ΔA und ΔB (nicht mehr die Unsicherheiten ΔA und ΔB) und nimmt an, dass die Anwendung der Operatoren ΔA und ΔB folgende Messwerte liefert:

    Das Anwenden der Operatoren ΔA und ΔB kann wie bei allen anderen Operatoren zu neuen Kets führen:

    Die Schwarz'sche Ungleichung (aus dem früheren Abschnitt »Rechenregeln in der Ket-Schreibweise«) liefert hier den Schlüssel dazu:

    Man sieht jetzt, dass sich das Ungleichheitszeichen ≥, das eine wichtige Rolle in der Heisenberg'schen Unschärferelation spielt, inzwischen in die Rechnung eingeschlichen hat.
    Da ΔA und ΔB hermitesch sind, ist <χ|χ> gleich <ψ|ΔA 2 |ψ> und <φ|φ> gleich <ψ|ΔB 2 |ψ>. Da ΔA † = ΔA (das ist die Definition eines hermiteschen Operators), gilt folgendes:

    Damit folgt:

    Das besagt, dass <χ|χ> gleich <ΔA 2 > und <φ|φ> gleich <ΔB 2 > ist. Somit kann man die Schwarz'sche Ungleichung wie folgt umschreiben:

    Ja, aber was hat uns das gebracht? Jetzt heißt es, clever zu sein. Man kann ΔAΔB wie folgt ausdrücken:

    Dabei ist {ΔA,ΔB} = ΔAΔB + ΔBΔA der Antikommutator der Operatoren ΔA und ΔB. Da [ΔA,ΔB] = [A,B] ( die Konstanten und fallen raus), kann man die Gleichung folgendermaßen schreiben:

    An dieser Stelle wird die Mathematik heftig. Lassen Sie uns daher einen Blick auf das werfen, was wir wissen:
    Der Kommutator [A,B] zweier hermitescher Operatoren ist anti-hermitesch.
    Der Erwartungswert eines anti-hermiteschen Operators ist imaginär.
    {ΔA,ΔB} ist hermitesch.
    Der Erwartungswert eines hermiteschen Operators ist reel.
    Das bedeutet, dass man den Erwartungswert der Gleichung als eine aus einem Real- und einem Imaginärteil bestehende Summe betrachten kann:

    Da der zweite Term auf der rechten Seite positiv oder gleich null ist, kann man das Folgende schreiben:

    Puuuh! Nun vergleicht man diese Gleichung mit der oben benutzten Schwarz'schen Ungleichung:

    Verknüpft man diese beiden Gleichungen, so erhält man folgende Beziehung:

    Das hat die Form der Heisenberg'schen Unschärferelation, abgesehen von den verflixten Erwartungswertklammern < >