Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

folgendermaßen:

    Man beachte, dass man den Operator A in Form einer quadratischen Matrix ausdrücken kann, da man <ψ| als Zeilen- und |ψ> als Spaltenvektor schreiben kann.
    Stellen Sie sich beispielsweise vor, Sie arbeiten mit einem Würfelpaar und notieren die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Summen (siehe den früheren Abschnitt »Vektoren im Hilbert-Raum erstellen«). In diesem Würfelbeispiel ist der Erwartungswert eine Summe von Termen; jeder Term besteht aus einer Zahl, die durch die Würfel angezeigt werden kann, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl fallen wird.
    Der Bra und der Ket verarbeiten diese Wahrscheinlichkeiten; daher ist es die Aufgabe des Operators, den Sie zu diesem Zweck aufstellen – nennen Sie ihn den Würfeloperator W –, für jede Augenzahl (von 2 bis 12) die Wahrscheinlichkeit zu speichern. Somit sieht der Operator W folgendermaßen aus:

    Um den Erwartungswert von W zu bestimmen, muss man nun <ψ|W|ψ> berechnen. Komponentenweise aufgeschrieben sieht das wie folgt aus:

    Führt man die Mathematik aus, so erhält man:

    Der Erwartungswert für das Würfeln ist also 7. Jetzt kann man auch verstehen, woher die Wörter Bra und Ket stammen: »Bracket« ist das englische Wort für Klammer; Bra und Ket klammern also bei der Berechnung des Erwartungswertes den Operator ein. Diese Bestimmung des Erwartungswertes kommt so häufig vor, dass <ψ|W|ψ> oft zu abgekürzt wird:

Lineare Operatoren
    Ein Operator A heißt linear, wenn er die folgende Bedingung erfüllt:

    Der Ausdruck |φ> <ψ| ist zum Beispiel ein linearer Operator. Um das zu veranschaulichen, lässt man |φ> <ψ| auf einen Ket |χ> wirken:

    Das kann man aber auch so schreiben:

    Der Ausdruck <ψ|χ> ist stets eine komplexe Zahl (die auch nur aus einem Realteil bestehen kann), sodass sich der Ausdruck auch wie folgt vereinfachen lässt:

    wobei c eine komplexe Zahl ist. Also ist |φ> <ψ| in der Tat ein linearer Operator.

Hermitesche Operatoren und ihre Adjungierten
    Der Operator A † heißt zu A hermitesch adjungierter Operator oder auch Adjungierter oder hermitesch Konjugierter . Um den hermitesch Adjungierten zu finden, muss man folgende Schritte ausführen:
    1. Man vertauscht die komplexen Konstanten mit ihren komplex konjugierten.
Die hermitesch adjungierte einer komplexen Zahl ist die komplex konjugierte dieser Zahl:
a † = a *
    2. Man ersetzt die Kets durch die entsprechenden Bras und die Bras durch die entsprechenden Kets.
    Man muss die Bras und Kets austauschen, wenn man den hermitesch Adjungierten zu einem Operator bestimmen will. Deshalb ist das Aufstellen des hermitesch Adjungierten eines Operators mathematisch nicht das gleiche wie das Bilden des komplex Konjugierten.
    3. Man muss die Operatoren durch ihre hermiteschen Operatoren ersetzen.
In der Quantenmechanik heißen Operatoren, die gleich ihrem hermitesch Adjungierten sind, hermitesche Operatoren . Mit anderen Worten, ein Operator heißt hermitesch, wenn gilt:
A † = A
Hermitesche Operatoren kommen überall in diesem Buch vor, und sie besitzen besondere Eigenschaften. So kann beispielsweise die Matrix eines hermiteschen Operators diagonalisiert werden. Das bedeutet, dass bei dieser Matrix die einzigen von null verschiedenen Elemente in ihrer Diagonale stehen. Außerdem ist der Erwartungswert eines hermiteschen Operators garantiert keine komplexe, sondern eine reele Zahl (siehe den früheren Abschnitt »Erwartungswerte bestimmen«).
    4. Man schreibt die Gleichung hin.
    Hier folgen einige Beziehungen, die für hermitesch adjungierte Operatoren gelten:
    ( aA ) † = a * A †
    ( A † ) † = A
    ( A + B ) † = A † + B †
    ( AB ) † = B † A †
    ( AB |ψ) † = < ψ| B † A †

Vorwärts und Rückwärts: Kommutatoren bestimmen
    Es ist etwas anderes, ob man zunächst den Operator A und anschließend den Operator B anwendet oder ob man sie umgekehrt anwendet; das Maß für diesen Unterschied wird Kommutator genannt. Der Kommutator der beiden Operatoren A und B ist wie folgt definiert:

Kommutieren der Operatoren
    Zwei Operatoren kommutieren, wenn ihr Kommutator gleich null ist. Das bedeutet, dass es keinen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge man sie anwendet:

    Man beachte insbesondere, dass jeder Operator mit sich selber kommutiert:

    Es ist leicht zu zeigen, dass der Kommutator von A und B das Negative des Kommutators von B und A ist:

    Außerdem sind Kommutatoren linear:

    Für das hermitesch Konjugierte eines