Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

und kontinuierlicher Darstellung
    Werner Heisenberg entwickelte die Formulierung der Quantenphysik in der Matrix-Darstellung, wie sie in diesem Kapitel benutzt wurde. Sie wird im Allgemeinen Matrizen-mechanik genannt. Die Matrix-Darstellung hilft bei der Lösung zahlreicher quantenphysikalischer Probleme – allerdings muss man manchmal auch eine andere Darstellung wählen, wie Sie im Folgenden sehen werden.
    Eines der grundlegenden Probleme der Quantenmechanik ist die Bestimmung der Energieniveaus eines Systems. Der Energieoperator heißt Hamilton-Operator H, und die Berechnung der Energieniveaus eines Systems ist somit identisch mit der Bestimmung der Eigenwerte der Gleichung:

    E ist hier also der Eigenwert des Hamilton-Operators H.
    An dieser Stelle folgt diese Gleichung in der Matrix-Darstellung:

    Die zulässigen Energieniveaus dieses physikalischen Systems sind die Eigenwerte E.
    Das ist schön und gut, wenn man eine diskrete Basis von Eigenvektoren hat – wenn also die Anzahl der Energiezustände endlich ist. Aber was ist, wenn es unendliche viele Energiezustände gibt? In diesem Fall kann man nicht länger mit einer diskreten Basis für die Operatoren, Bras und Kets arbeiten, sondern man benötigt eine kontinuierliche Basis .

Mit der Differentialrechnung zu einer kontinuierlichen Basis
    Die Darstellung der Quantenmechanik mit einer kontinuierlichen Basis wurde von dem Physiker Erwin Schrödinger eingeführt. Dabei gehen die Summen in Integrale über. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Gleichung, wobei I die Einheitsmatrix ist:

    Sie hat nun folgendes Aussehen:

    Dabei kann jeder Ket |ψ> durch eine Basis anderer Ket-Vektoren |φ n > beschrieben werden:

Jetzt kommen die Wellen
    Betrachten Sie nun den Ortsoperator R in einer kontinuierlichen Basis. Legt man diesen Operator an, so erhält man den Ortsvektor r :

    In dieser Gleichung wird der Ortsoperator auf einen Zustandsvektor angewendet; dies liefert den Ort r, an dem das Teilchen gefunden werden kann. Man kann jeden Ket wie folgt im Ortsraum beschreiben:

    Und das wird zu:

    An dieser Stelle ist es sehr wichtig, Folgendes zu verstehen: ψ(r) = ist die Wellenfunktion für den Zustandsvektor |ψ>; das ist die Darstellung des Kets im Ortsraum. Oder mit anderen Worten, es ist eine Funktion, in der die Größe |ψ(r)| 2 d 3 r die Wahrscheinlichkeit angibt, dass sich das Teilchen in dem Raum d 3 r am Ort r befindet.
    Die Wellenfunktion ist die Grundlage der Methode, die, im Gegensatz zur Matrizenmechanik, Wellenmechanik genannt wird. Es ist an dieser Stelle wichtig zu verstehen, dass man bei der Darstellung physikalischer Systeme in der Wellenmechanik nicht die basisfreien Bras und Kets der Matrizenmechanik benutzt. Vielmehr benutzt man Wellenfunktionen, also die Bras und Kets im Ortsraum.
    Deshalb benutzt man hier nicht |ψ>, sondern , was ψ(r) entspricht. Diese Wellenfunktion, die einfach nur ein Ket im Ortsraum ist, wird in den folgenden Kapiteln noch sehr häufig erscheinen. In der Wellenmechanik wird H|ψ> = E|ψ> somit in folgender Form geschrieben:

    Das kann man auch wie folgt schreiben:

    Aber was ist ? Es ist das Gleiche wie Hψ(r). Der Hamilton-Operator H gibt die gesamte Energie des Systems an, also sowohl die kinetische (p 2 /2m) als auch die potentielle (V(r)). Somit erhält man die folgende Gleichung:

    Der Impulsoperator lautet:

    Setzt man diesen in die obige Gleichung ein, so erhält man:

    Verwendet man den Laplace-Operator, so ergibt sich folgende Gleichung:

    Diese Gleichung kann man jetzt folgendermaßen umschreiben (sie heißt Schrödinger-Gleichung ):

    Wenn man also Quantenphysik mithilfe der Wellenmechanik beschreibt, arbeitet man mit einer Differentialgleichung statt mit Matrizen. Das hängt damit zusammen, dass man hier im Ortsraum mit ψ(r) = rechnet und nicht mit dem Zustandsvektor |ψ>.
    Der größte Teil dieses Buches beschäftigt sich nun damit, diese Differentialgleichung für eine Anzahl verschiedener Potentiale V(r) zu lösen. Der Schwerpunkt liegt also im Folgenden darin, die Wellenfunktionen zu finden, die die Schrödinger-Gleichung für verschiedene physikalische Systeme erfüllen. Wenn man die Schrödinger-Gleichung für ψ(r) löst, kann man sowohl die erlaubten Energiezustände eines physikalischen Systems angeben als auch die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem bestimmten Ortszustand befindet.
    Man beachte, dass man neben Wellenfunktionen im Ortsraum auch solche im