Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

wie folgt aussehen ( Beachten Sie: Die Elemente eines Operators können auch Funktionen sein, nicht nur Zahlen):

    Beim Wechsel in die Basis der Eigenvektoren des Operators diagonalisiert man die Matrix, sodass sie wieder vertrauter aussieht und man besser mit ihr arbeiten kann:

    Sie können nun verstehen, warum das Wort » Eigen« Bestandteil des Wortes Eigenvektoren ist – diese bilden eine natürliche Basis für den Operator.
    Sind zwei oder mehr Eigenwerte gleich, dann sagt man, dass die Eigenwerte entartet sind. Sind beispielsweise drei Eigenwerte gleich 6, dann ist der Eigenwert 6 dreifach entartet.
    Hier folgt noch ein heißer Tipp: Wenn zwei hermitesche Operatoren A und B kommutieren und A keine entarteten Eigenwerte hat, so ist jeder Eigenvektor von A auch ein Eigenvektor von B. (Mehr über Kommutatoren findet sich in dem Abschnitt Vorwärts und Rückwärts: Kommutatoren bestimmen weiter vorne.)

Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen
    Wenn nun ein Operator in Matrixform gegeben ist, wie findet man dann seine Eigenvektoren und Eigenwerte? Stellen Sie sich vor, Sie sollen folgende Gleichung lösen:

    Diese Gleichung kann man wie folgt umschreiben:

    I ist die Einheitsmatrix, die entlang der Diagonale die 1 enthält und deren übrige Elemente 0 sind:

    Die Lösung der Gleichung (A – aI)|ψ> = 0 existiert nur, wenn die Determinante der Matrix (A – aI) gleich 0 ist:

Eigenwerte bestimmen
    Alle Werte von a, die die Gleichung det(A – a I ) = 0 erfüllen, sind Eigenwerte der Ursprungsgleichung. Versuchen Sie, die Eigenwerte und die Eigenvektoren der folgenden Matrix zu bestimmen:

    Als erstes bringt man die Matrix in die Form A – a I :

    Danach bestimmt man die Determinante:

    Das kann man wie folgt ausklammern:

    Sie wissen, dass det(A – a I ) = 0 ist; daher sind die Eigenwerte von A die Nullstellen dieser Gleichung, nämlich a 1 = –2 und a 2 = –3.
Eigenvektoren bestimmen
    Aber wie findet man die Eigenvektoren? Um den zu a 1 (siehe vorangehender Abschnitt) gehörigen Eigenvektor zu finden, setzt man den ersten Eigenwert a 1 = –2 in die Matrix ein:

    erhält man damit:

    Da jede Zeile dieser Matrixgleichung stimmen muss, weiß man, dass ψ 1 = ψ 2 . Das bedeutet, dass der zu a 1 gehörende Eigenvektor, abgesehen von einer willkürlichen Konstante, der folgende ist:

    Man lässt die Konstante wegfallen und schreibt dies als:

    Was ist mit dem Eigenvektor, der zu a 2 gehört? Setzt man a 2 = –3 in die Matrix ein, erhält man:

    und daraus folgt:

    Folglich ist 2ψ 1 – ψ 2 = 0 und daher ψ 1 = ψ 2 /2. Das bedeutet, dass der zu a 2 gehörende Eigenvektor, mit einer willkürlichen Konstante c wie folgt aussieht:

    Weglassen der Konstante ergibt:

    Die Eigenwerte des Operators

    sind a 1 = –2 und a 2 = –3. Der zu a 1 gehörende Eigenvektor ist

    und der zu a 2 gehörende Eigenvektor ist

Auf das Gegenteil vorbereitet sein: Vereinfachung durch unitäre Operatoren
    Lässt man das Inverse eines Operators auf diesen wirken, so hebt er dessen Wirkung auf:

    Manchmal kann es sehr hilfreich sein, das Inverse eines Operators zu bestimmen, insbesondere wenn man Gleichungen der Form Ax = y lösen will. Diese Gleichung ist für x einfach zu lösen, wenn man das Inverse von A kennt: x = A –1 y.
    Da es nicht immer einfach ist, die Inverse einer großen Matrix zu berechnen, muss man bei manchen Rechnungen in der Quantenphysik mit unitären Operatoren U arbeiten. Ein Operator ist unitär, wenn sein Inverses die Adjungierte ist: U –1 = U † . (Um die Adjungierte eines Operators A zu bestimmen, berechnet man zunächst seine Transponierte A T , indem man die Zeilen zu Spalten macht. Anschließend nimmt man davon die komplex Konjugierte A T* = A † .) Somit erhält man die folgende Gleichung:

    Das Produkt zweier unitärer Operatoren U und V ist ebenfalls unitär:

    Wenn man unitäre Operatoren benutzt, ändern sich die Bra- und Ket-Vektoren wie folgt:

    Mithilfe unitärer Operatoren kann man andere Operatoren wie folgt umformen:

    Beachten Sie, dass die obigen Gleichungen auch folgendes beinhalten:

    Hier folgen einige Eigenschaften unitärer Umformungen:
    Ist ein Operator A hermitesch, dann ist die unitär Transformierte A′ = UAU † ebenfalls hermitesch.
    Die Eigenwerte eines Operators A und seiner unitär transformierten A′ = UAU † sind identisch.
    Kommutatoren, die aus komplexen Zahlen bestehen, bleiben bei unitären Umformungen unverändert: [A′,B′] = [A,B].

Vergleich zwischen Matrix-